吹肥皂泡引发的数学的联想（二）

咱接着上回的等周不等式讲哈。

所以看着容易证明起来并不那么容易的例子还有很多，有的甚至是巨坑。比如费马猜想，还有四色问题。

费马猜想绝对是民科的挚爱——因为这是他们为数不多的能明白题目在干啥的猜想。然而直到上世纪90年代中才由Wiles用椭圆曲线理论搞定；至于四色定理把闵可夫斯基还给坑了。据说有一次他老人家上课的时候提到了这个问题，当众牛逼哄哄地说道：

这问题现在还没有被干掉，那是因为没有第一流的数学来干它。

于是开始了他的证明。

第一节课，没做出来。

第二节课，没做出来。

……

一周过去了，还没做出来，突然之间，一个炸雷响了起来，把闵教授的粉笔给震掉了，闵教授大骇，捡起粉笔来轻轻说了一句：

一震之威乃至于此。。。

哦哦，串戏了，闵可夫斯基说的是：这是上天在惩罚我的狂妄无知啊！于是放弃了。直到上世纪70年代吧，有俩人用计算机验证了超过1200亿个例子，都是对的，于是就证完了。

是不是看起来也挺随意的。。。

让我们把目光回到极小曲面的问题上来。从几何上来说，这个问题的描述是清晰而易懂的：面积最小。但是问题是这空间里的封闭曲线可不一定是平面曲线啊！

尴尬的事情来了，空间里的曲面面积怎么算对很多人来说都无法理解。。。

当然，从几何上来说，极小曲面就是指曲面的平均曲率为0的曲面，至于平均曲率么，emmm。。。就是主曲率的平均值，至于主曲率么，emmm。。。就是曲面上经过这一点的所有曲线中曲率的最大值和最小值。

你还要继续听么？现在是不是觉得面积最小还是挺好理解的？

现在的问题是，以这条闭曲线为边界的曲面有无数张，然后要证明这里有一张面积最小——毕竟我么肯定能用肥皂泡来证明这个存在性。

证明：因为我能用肥皂水搞出这么一张膜，所以命题是对的。。。。

你给我出去。

这个问题被称为普拉托问题，是数学中与极小曲面有关的一类问题，旨在研究在边界固定时极小表面的存在性。这个问题最早由法国著名数学家拉格朗日（对，就是那个拉格朗日中值定理的拉格朗日）在1760年提出。

而之后比利时人Plateau在十九世纪进行了大量关于肥皂泡的实验。。。想象一下这个画面，真的很搞笑啊。。。

你每天的研究工作是什么？

玩泡泡。。。

别说，他还真的搞出了与此问题有关的定律（Plateau定律）。因为涉及到极小值的问题，因此很容易联想到Plateau问题可以转化成变分法研究的一个分支。Plateau问题中的极小曲面的存在性以及其正则性（是否可微，是否光滑等等）是几何测度理论的研究对象。 完全开放的Plateau问题太难了，于是数学家们首先加了一堆的约束条件。1930年，杰西·道格拉斯和蒂波·拉多得到了曲面在浸入到欧氏空间中情况下的一般解。两人用的方法差别非常大。拉多的方法建立在加尼尔的工作上，只能证明边界为可求长的简单闭曲线的情况。道格拉斯则运用了全新的思路，对任意的简单闭曲线都适用。两人的方法都包括了求解最小值问题，不同之处为道格拉斯最小化的对象是现在称为“道格拉斯积分”的积分式，而拉多最小化的对象是类似于保守场的“能量”。道格拉斯因这方面的工作获得了1936年的菲尔兹奖.

所以我们最后的结论是：对三维空间中任意简单的闭曲线，总可以找到极小曲面，以该曲线为边界。至于三维空间中的其他情况，emmm...

就挺难的了。

前几年德国青年数学家Brendle搞了一个Hsiang-Lawson猜想，也是和极小曲面有关的，不过要复杂的多得多，用到的数学工具也要高级许多，鉴于简单闭曲线已经这样了。。。其他的有兴趣可以搜关键词 Brendle,Hsiang-Lawson conjecture就好啦~