流星陨落——数学天才伽罗瓦
从本期起，我将逐渐写一些人类历史上成就远超越时代，而不为大多数人所知的杰出人物，他们是人类文明史璀璨的明星。
1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨十点，这个可怜的年轻人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年，他就是伽罗瓦。
埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois，1811年10月25日－1832年5月31日），这个世界上最伟大的数学天才之一，在一次决斗中丧生，结束了年仅20岁的生命。
01
天才的成长
1811年10月25日，伽罗瓦出生于法国巴黎郊区拉赖因堡伽罗瓦街的第54号房屋内。现在这所房屋的正面有一块纪念牌，上面写着：“法国著名数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦生于此，卒年20岁，1811～1832年”。纪念牌是小镇的居民为了对全世界学者迄今公认的、曾有特殊功绩的、卓越的数学家——伽罗瓦表示敬意，于1909年6月设置的。
伽罗瓦的双亲都受过良好的教育。在父母的熏陶下，伽罗瓦童年时代就表现出有才能、认真、热心等良好的品格。其父尼古拉·加布里埃尔·伽罗瓦是参与政界活动的自由党人，是拿破仑的积极支持者。做过学校校长。又担任拉赖因堡常任市长，深受市民的拥戴。伽罗瓦曾向同监的难友勒斯拜（法国著名的政治家、化学家和医生）说过：“父亲是他的一切”。可见父亲的政治态度和当时法国的革命热潮对伽罗瓦的成长和处事有较大的影响。
伽罗瓦的母亲玛利亚是一个聪明兼有好教养的妇女，她为伽罗瓦在中学阶段的学习和以后攀登数学高峰打下了坚实的基础。
伽罗瓦年满12岁时离开了双亲，考入有名的路易·勒·格兰皇家中学。从他的老师们保存的有关他在中学生活的回忆录和笔记中，记载着伽罗瓦是位具有“杰出的才干”，“举止不凡”，但又“为人乖僻、古怪、过分多嘴”性格的人。
这一年伽罗瓦15岁，他开始把大部分时间和主要精力用来研究、探讨数学课本以外的高等数学。 他经常到图书馆阅读数学专著，特别对一些数学大师，如勒让德的《几何原理》和拉格朗日的《代数方程的解法》、《解析函数论》、《微积分学教程》进行了认真分析和研究。
伽罗瓦用来很短的时间便熟悉了欧拉、高斯、雅可比的著作，这增强了他的信心，他认为他能够做到的，不会比这些大数学家们少。1827年伽罗瓦不再去听任何专业课了，他在独立的准备报考巴黎综合工科学校，结果由于考官看不懂伽罗瓦的解题步骤而落榜。这一年伽罗瓦17岁。
1828年10月，他从中学初级数学班跳到里夏尔的数学专业班。 路易·勒·格兰中学的数学专业班教师里夏尔，在科学史上，他作为一个很有才华的教师。里夏尔不仅讲课风格优雅，而且善于发掘天才。他遗留下的笔记中记载着：“伽罗瓦只宜在数学的尖端领域中工作”，“他大大地超过了全体同学”。
里夏尔帮助伽罗瓦于1828年在法国第一个专业数学杂志《纯粹与应用数学年报》三月号上，发表了他的第一篇论文—《周期连分数一个定理的证明》，并说服伽罗瓦向科学院递送备忘录。1829年，伽罗瓦在他中学学年快要结束时，把他研究的初步结果的论文提交给法国科学院。这一年，伽罗瓦刚满18岁。
中学学年结束后，他在报考巴黎综合工科学校时，由于在口试中主考的教授比内和勒费布雷·德·富尔西对伽罗瓦阐述的见解不理解，居然嘲笑他。伽罗瓦在提及这次考试时，曾写道，他不得不听“主考人的狂笑声”。据说“由于被狂笑声所激怒”，他把黑板擦布扔到主考人头上，或是因为他拒绝回答有关关于对数这样的过于简单的问题，所以第二次遭到落选。
1829年7月2日，伽罗瓦的父亲由于受不了天主教牧师的攻击、诽谤而自杀了。这给了伽罗瓦很大的触动，他的思想开始倾向于共和主义。其后不久，伽罗华听从里夏尔的劝告决定进师范大学，这使他有可能继续深造，同时生活费用也有了着落。1829年10月25日伽罗瓦被作为预备生录取入学。
进入师范大学后的一年对伽罗瓦来说是最顺利的一年，1828年他的科学研究获得了初步成果。伽罗瓦写了几篇大文章，并提出自己的全部著作来应征科学院的数学特奖。但在这里，他又一次遭到了新挫折：
年仅18岁的伽罗瓦漂亮地解决了当时数学界的顶级难题：为什么五次及五次以上的多项式方程没有一般的解。他把这一研究成果提交给了法国科学院，由大数学家柯西负责审稿，柯西建议他回去仔细润色一下（现在法国学者认为并非原来认为被柯西弄丢），后来伽罗瓦又把论文交给了科学院秘书傅立叶，但没过几天傅立叶就去世了，于是论文被遗失了。1831年伽罗瓦第三次投稿，当时的审稿人是泊松，他认为伽罗瓦的论文很难理解，于是拒绝发表。
这些著作的某些抄本落到数学杂志《费律萨克男爵通报》的杂志社手里，并在1830年的4月号和6月号上把它刊载了出来。
在师范大学学习的第一年，伽罗瓦结认了奥古斯特·舍瓦利叶，舍瓦利叶直到伽罗瓦临终前一直是他的唯一亲近的朋友。1830年7月，伽罗瓦将满19岁。他在师范大学的第一年功课行将结束。他这时写成的数学著作，已经使人有可能对他思想的独创性和敏锐性作出评价。
02
天才的陨落
伽罗瓦诞生在拿破仑帝国时代，经历了波旁王朝的复辟时期，又赶上路易·腓力浦朝代初期，他是共和派的秘密组织“人民之友”的成员，并发誓：“如果为了唤起人民需要我死，我愿意牺牲自己的生命”。
伽罗瓦敢于对政治上的动摇分子和两面派进行顽强的斗争，年轻热情的伽罗瓦对师范大学教育组织极为不满。由于他揭发了校长吉尼奥对法国七月革命政变的两面派行为，被皇家国民教育委员会1831年1月8日批准将伽罗瓦开除出师范大学。
从1831年5月后，伽罗瓦两度因政治原因下狱，也曾企图自杀。在监狱中，伽罗瓦仍然顽强地进行数学研究，一面修改他关于方程论的论文及其他数学工作，一面为将要出版的著作撰写序言。
1832年3月他在结识了一个医生的女儿并陷入狂恋，这个姑娘是一个舞女，因为这段感情，他陷入与她的未婚夫——共和党军官德艾尔宾维尔的决斗，伽罗瓦知道对方枪法很好，自己必死，因此在决斗前夜将他的所有数学成果狂笔疾书纪录下来，并时不时在一旁写下“我没有时间”。
第二天清晨，伽罗瓦来到约定地点。决斗方式为，两人在一把有子弹和一把没有子弹的枪中随机选一把，隔着25公尺射击，在决斗中，伽罗瓦被子弹射穿肠子，没有医生在场。他被丢在他倒下的地方，9点钟，一个农夫发现了他。死之前，他对在他身边哭泣的弟弟说：“不要哭，我需要足够的勇气在20岁的时候死去”。他被埋葬在公墓的普通壕沟内，所以今天他的坟墓已无踪迹可寻 这一天是1832年5月31日，还不到21岁。
遵照伽罗瓦的遗愿，他的朋友将他的遗作寄给卡尔·弗里德里希·高斯与雅各比，但是都石沉大海，要一直到1843年，才由刘维尔肯定伽罗瓦结果之正确、独创与深邃，并在1846年将它发表。
03
伟大成就
伽罗瓦死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了十四年后，也就是1846年，才由法国数学家刘维尔领悟到这些演算中迸发出的天才思想，他花了几个月的时间试图解释它的意义。刘维尔最后将这些论文编辑发表在他的极有影响的《纯粹与应用数学杂志》上，并向数学界推荐。1870年法国数学家约当根据伽罗瓦的思想，写了《论置换与代数方程》一书，在这本书里伽罗瓦的思想得到了进一步的阐述。
伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论。正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程。正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具—群论。它对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始。
伽罗瓦理论基本内容
1、域的正规可分扩张定义为伽罗瓦扩张。
2、若K/F为伽罗瓦扩张，K上的F-自同构的集合构成一个群，定义为伽罗瓦群，记为Gal(K/F)。3、对于H是Gal(K/F)的子群，称K中在H中任意元素作用下不动元的集合为H的不动域，这是一个中间域。4、对于伽罗瓦扩张，扩张的中间域和伽罗瓦群的子群有一一对应的关系。5、F⊂E⊂K形式的伽罗瓦扩张，E/F是正规扩张当且仅当Gal(K/E)是Gal(K/F)的正规子群。6、在特征为0的域上，多项式的根可用根式解当且仅当其分裂域扩张的伽罗瓦群是可解群。
伽罗瓦非常彻底地把全部代数方程可解性问题，转化或归结为置换群及其子群结构分析的问题。这是伽罗瓦工作中的第一个“突破”，他犹如划破黑夜长空的一颗瞬间即逝的彗星，开创了置换群论的研究，确立了代数方程的可解性理论，即后来称为的“伽罗瓦理论”，从而彻底解决了一般方程的根式解难题。 伽罗瓦理论的建立，不仅完成了由拉格朗日、鲁菲尼、阿贝尔等人开始的研究，而且为开辟抽象代数学的道路建立了不朽的业绩。
作为这个理论的推论，可以得出五次以上一般代数方程根式不可解，以及用圆规、直尺(无刻度的尺)三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。
在几乎整整一个世纪中，伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响。伽罗瓦理论被扩充并推广到很多方向。戴德金曾把伽罗瓦的结果解释为关于域的自同构群的对偶定理。随着20世纪20年代拓扑代数系概念的形成，德国数学家克鲁尔推广了戴德金的思想，建立了无限代数扩张的伽罗瓦理论。伽罗瓦理论发展的另一条路线，也是由戴德金开创的，即建立非交换环的伽罗瓦理论。1940年前后，美国数学家雅各布森开始研究非交换环的伽罗瓦理论，并成功地建立了交换域的一般伽罗瓦理论。伽罗瓦理论还特别对尺规作图问题给出完全的刻画。人们已经证明：这种作图问题可归结为解有理数域上的某些代数方程。这样一来，一个用直尺和圆规作图的问题是否可解，就转化为研究相应方程的伽罗瓦群的性质。
附：伽罗瓦的遗书
我请求我的爱国同胞们，我的朋友们，不要指责我不是为我的国家而死。
我是作为一个不名誉的风骚女人和她的两个受骗者的牺牲品而死的。我将在可耻的诽谤中结束我的生命。噢！为什么要为这么微不足道的，这么可鄙的事去死呢？我恳求苍天为我作证，只有武力和强迫才使我在我曾想方设法避开的挑衅中倒下。
我亲爱的朋友：
我已经得到分析学方面的一些新发现……
在我一生中，我常常敢于预言当时我还不十分有把握的一些命题。但是我在这里写下的这一切已经清清楚楚地在我的脑海里一年多了，我不愿意使人怀疑我宣布了自己未完全证明的定理。
请公开请求雅可比或高斯就这些定理的重要性（不是就定理的正确与否）发表他们的看法。然后，我希望有人会发现将这一堆东西整理清楚会是很有益处的一件事。
热烈地拥抱你
—— 伽罗瓦