淋浴方程：洗澡水温度不满意，责任全都在我
你一定经历过洗澡时水温过热或过冷时的情况，结果调节过量又导致水太烫或太凉了。其实有一个数学方程可以描述这种现象，我们也可以形象地称它为“淋浴方程”，而其中的关键就是延迟——因为水从水管流出需要时间。方程求得的结果是真正能调出最佳温度，还是就只能凑合洗洗？生活中，涉及到延迟的现象太多了，那么淋浴方程又能用在何处？
温馨提示：本文包含一些数学推导，可选择直接跳过。
撰文 | Chris Budd
淋浴的时候，我们都经历过这种情况：如果感觉水温有些凉就调热一点儿，不过，因为热水经管道流出需要时间，水温不会立刻改变，所以你会把水温调得更高一些。这时再出水后洒到身上，你又会感觉有点烫了。于是你立刻把热水调小，可结果水温又偏低了，然后你又开始加热水……如此反复形成一种循环，我们似乎不可能调整到最合适的水温。
其实这种现象可以用一个方程来描述，而且这个方程可不是只能用来分析洗澡水温度——从气候变化到新冠疫情的扩散，它有着广泛的应用。其原因就在于，世界上许多变化的过程都受到延迟的影响。在具体分析之前，我们先来看看这个方程的形式。
如果用函数 代表我们在时间等于 这一时刻感受到的水温，并假设水流过管道需要 秒。那么淋浴方程如下，
在这个表达式中，左端的 表示在 时刻水温的变化率（即水温关于时间的导数，表示水温变化的快慢）。如果这一项为正数，说明在此时水温正在上升；如果为负数，则水温正在下降。正的数值越大，说明此时水温升高的越快，反之亦然。
方程右端告诉我们， 时刻的变化率正比于 秒前的温度，即 。这是合乎常理的：此时此刻温度的变化率取决于 时刻我们调整热水量的多少，也就取决于在 时刻我们感受到水的冷热。右端项中的 即是正比系数（我们假设该常数大于零）。
而右端的负号意味着，在 时刻感受到水温高的时候，我们会调小热水量，导致 时刻水温降低；当水温低时，我们会调大热水量，导致 时刻水温升高。
值得注意的是，这里的表述有一些模糊，因为严格来讲方程表述的是：如果温度大于零则调低水温，如果温度小于零则调高水温。显然这是不符合常识的，只是高于零度根本不是一个合适的温度。但是，我们可以简单地，等价地调整这个方程，以表示当温度低于或高于某个合适水温时，我们会如何调整水温。
我们需要找到满足上文提到的淋浴方程的函数 ，进而表示任意时刻的温度。而求解出 将会告诉我们，通过不断调整，最终会稳定在一个舒适的温度，还是会一直变来变去，永远都不会有令人满意的结果。
（1）这类方程也被称为微分方程，因为方程里涉及一个变化率的量，即导数。尽管这个方程很不容易求解，但我们至少可以探索解的大致形态——当然，要涉及一点微积分的知识。如果大家觉得有些烧脑，不妨跳至文章最后，可以看看淋浴方程的重要应用。
首先，让我们来看看如果水流经水管不需要时间的方程是什么样，这表示延迟为零，即 。方程 (1) 将变形为
如果大家对于微分有一点了解，就会知道这种情况下，函数
是方程的一个解。对于不同 的取值，我们可以绘制对应的函数图像。可以发现，每一种情况下，温度的趋势都是稳定的：温度值收敛于零。（经过我们之前提到的模糊表述可知，这里的零值即为我们假设中寻求的理想温度。）
当延迟 非零时，我们会探讨更复杂的数学，读者亦可跳至文章最后的应用部分。
我们假设存在一个 ，使得解的形式为
我们的目标就是求出参数 是什么。
首先，我们关于 这一变量对 (2) 式求导，
将我们求导的结果带入原始方程 (1)，我们得到
当 满足以下的超越方程时，
等式 (3) 严格成立。（超越方程指的是非多项式的方程，比如说指数方程，对数方程，三角方程等等）
我们可以通过换元简化所得到的等式，
则等式 (4) 变形为，
即
简化出的超越方程很难求解，但我们可以绘制出等式两端的函数： 和 ，进而观察两函数在何处相交。相交点的 坐标满足方程 (4), 即为所求。观察下图即可观察到 的值对于相交点的影响。
图像表明方程 (4) 仅在 小于某一个在 0.37 左右的值时有解。事实上，通过计算可以发现，解存在的条件是
其中 为自然对数的底。
这里包含两种情况。首先 时，因为 和 是正数，，所以 是一个负数。解的形式为：
因而原始方程 (1) 的解的形态和零延迟解类似：当时间增长，解会趋向于零。准确地说，当延迟参数 和 正比系数 的乘积小于或等于 时，不断调整热水量，我们最终会使温度达到理想数值。
如果 ，则需要涉及复数的领域。因为方程 (4) 没有实数解，但有复数解。在这里我们省略过多的细节，最终分析的结果是：如果复数解的实部小于零，淋浴过程是可控的，即我们最终可调整至理想的温度；如果复数解的实部大于零，淋浴过程会变成不可控的，即温度会保持上升和下降，永远不会到达理想值。
对于延迟参数 以及正比系数 ，如果两者乘积是，则是我们所讨论的两种复数情况的临界状态。
如果读者跳过了数学繁杂的部分，欢迎回来继续阅读！
我们刚才讨论的结果是：如果 ( 为延迟的时间， 为正比系数) 乘积小于 ，则淋浴的水温是可控的，即我们最终可调整至理想的温度；如果 ，水温不仅可控而且调节过程中没有任何振荡。如果 ，则在到达理想温度前，解会存在振荡逼近的过程。以下的图像表明这几种不同情况。
当 时，温度函数图像
当 π 时，温度函数图像
如果 ，则解会保持大幅度振荡，如下图所示：
当 π 时，温度函数图像
现在我们来看看淋浴方程的其他应用，其最重要的应用之一是气候动力学，因为很多的气候现象都需要一段时间才能产生影响。
比如，如果我们排入大气中的二氧化碳总量发生变化，那么我们必须等待一段时间才能看到它对地球温度的实际影响。这就造成降低二氧化碳排放所产生的效果难以确定，而且还可能导致温度不可控的振荡。
另一个例子是关于厄尔尼诺-南方涛动（ENSO）：厄尔尼诺现象是热带太平洋地区温度的一种不规则变化，洋流和大气之间相互作用引起海洋温度升高，每次升温事件之间大约间隔4年。这一现象对太平洋地区，乃至是全世界的经济发展都有重大影响。如果我们可以更好地预测它，那么这将有助于太平洋地区的人们做好准备。
这种现象可以被一个与淋浴方程非常相似的方程建模。模型中的延迟就是洋流从南美西海岸流动至亚洲东海岸再返回的时间，也就是我们看到的周期性。事实上，构建厄尔尼诺现象的方程包含了额外的非线性项，从而导致了混沌现象叠加在周期振动之上。（进一步了解可以参考文献：An, S., & Jin, F. (2004). Nonlinearity and Asymmetry of ENSO, Journal of Climate, 17(12), 2399-2412. ）
在理解农业生产与气候变化之间关系方面，淋浴方程也有帮助，因为作物生长需要时间。这就导致在环境不断变化之时，人们常常很难计划何时种植与收获。
淋浴方程和我们当下严峻的新冠疫情紧密相关。我们正在通过控制社交距离和接种疫苗来试图控制全球的疫情，但是这些举措需要时间才能看到效果。显然，模型中涉及了延迟。除此之外，病毒的潜伏期也有一段时间。在潜伏期内，病人没有任何症状，所以就存在一个人被感染至被发现患病之间的延迟。在建模时，引入这些延迟就会导出了具有延迟和控制影响的SIR方程（一种常用的传播模型），从而帮助我们理解和控制疫情。当然，这也可以从淋浴方程变形而来。和 ENSO 系统一样，一旦延迟被纳入到方程中，事件就会变得更加不确定。因此，(卫生和经济) 系统的可控制性如何还有待观察。
Chris Budd
本文基于 Budd’s Gresham College 系列讲座中的一个演讲。
原文链接：The shower equation: Dealing with delay
https://plus.maths.org/content/shower-equation