欧拉公式的理解,看完就全懂了

前期我们讲了虚数i,今天我们分析最完美的公式欧拉公式,其实欧拉公式是以欧拉命名的诸多公式,还有很多哦,欧拉可是一位神一样的人物,后面我们会专门介绍这位帅哥.

欧拉公式

证明与理解

欧拉的证明:欧拉用到了泰勒级数的展开性质:

分别展开e^x sinx cosx 得到

e^x 展开

cosx

sinx

用x代换成ix

isinx

最终发现了

最好就得到了

霸气!

上次分析虚数i时,我们理解虚数为旋转量,那这个公式可以从旋转量的角度理解吗?可以.

首先

e的来源

我们把它推广至复数范围内就可得到

我们利用之前分析的复数乘法的意义:(旋转和伸缩,不懂可以去看前面文章内容)分析

乘以

就是旋转和伸缩,我们用图像来表示更容易理解

n取不同的值时,旋转量和伸缩量都不一样,我们取n=4时,下图可以看到相乘的次数不一样,旋转的角度不一样

当n=10时,我们发现,它的旋转量更加趋近于1弧度

当n趋于无穷时,此时e^i表示在单位圆上旋转了1弧度,此时我们理解

相当于在平面内旋转了π弧度,

这时,我们用旋转的角度将欧拉公式理解到位了.

那我们平时说的3^i表示什么呢?

我们将它进行变化

于是我们根据上面的演义,可以发现其实这个还是旋转量,相当于旋转ln3弧度

一些式子的理解更加有趣比如i^i和ln(-1)

相当于旋转90度

更有趣!

亲们理解了么?

当然欧拉公式还有许多证明方法,例如分离变量积分法变上限积分法极限法等;