关于自我描述数
（TED-Ed视频：达芬奇谜题）
以下内容包含5个部分：1）什么是“自我描述数”；2）“自我描述数”的特征；3）低位“自我描述数”的穷举；4）高位“自我描述数”的一般公式；5）从最小到最大的“自我描述数”。
1.什么是“自我描述数”？
第一件事当然是界定定义，所谓的“自我描述数”，汉语一般翻译成“自描述数”，英文是self-descriptive number （自我描述的数字），或者 autobiographical number（自传式的数字），顾名思义，即一种能通过数字本身描述该数字自身特征的数字。
用一句话来概括这种通过数字自身来描述自身特征，即：这个数字中每一个位数上的数都是该位数的数值所出现的次数。（位数从0开始计，从左到右以此类推）
这句话有一点绕，举一个具体的例子就一目了然了，就以该视频里给出的两个具体数字1210和3211000来说明它们为什么是自描述数。
根据上述的位数规则，每个数字的位置编号从左到右分别是0、1、2、3……，所以对于1210来说：第一位数，即0号位上的取值便是该位置号“0”在这个数字中出现的次数，“0”在1210中出现了1次，所以第一个数即0号位上的值是1；第二位数的取值是该位置即1号位的“1”在这个数字里出现的次数，“1”出现了两次，所以这个位置上的值是2；以此类推，第三位数字的取值是“2”出现的次数1，第四位数字的取值是“3”出现的次数0。
对于3211000来说：“0”出现了3次，所以第一个数是3；“1”出现了2次，所以第二个数是2；“2”出现了1次，所以第三个数是1；“3”出现了1次，所以第四个数是1；“4”、“5”、“6”均出现了0次，所以最后三个数（4/5/6号位）均是0。
这就是自身能够描述自身、自己讲述自己的“自我描述数”。
2.“自我描述数”的重要特征
从“自我描述数”的定义本身，我们可以立即发现它的一个重要特征，可以称其为“定理一”：一个自我描述数的所有数字的和等于它的位数。
原因是很简单的：因为每个数值都是其位置号所出现的次数，是对位数的统计，所以次数的总和必然等于这个数字的总位数。
比如上述中的4位数的自我描述数1210，便有1+2+1+0=4；
上述中的7位数的自我描述数3211000，便有3+2+1+1+0+0+0=7.
这个定理一看似简单，但对我们下面的推理非常重要。
另外一个也是看似简单但也很重要的问题是：自我描述数的第一个数可能是0吗？（即0号位上的数可能是0吗？）
假设0号位上的数值是0，这说明该数字中没有一个“0”，这与“0号位上的0”相悖，所以不能成立，所以自我描述数的第一个数字不能是0。所以，0不是自我描述数。
这句话看着很简单，但它有一个重要的含义：自描述数的第一个数字一定是大于0的。也就是说，一个自描述数中，一定有“0”，但第一个数一定不能是“0”。我们可以把这句话界定为“定理二”。
搞清楚定理一和定理二，下面的推理就比较简单了。
3.低位“自我描述数”的穷举
在清楚了“自我描述数”的定义后，我们可以试着穷尽十进制中的自我描述数。自然是从小到大来尝试。
根据“定理一”，我们可以立即断定：个位数中没有自描述数。因为一个数据要满足既要有0但第一个数又不能是0，它必须至少是个两位数。
那么两位数中有没有自描述数呢？
对于两位数来说，要满足既要有“0”但第一个数不能是“0”，它就只能是“x0”，其中“x”的值是对“0”出现次数的描述，所以它只能是“1”；这个数里既然有“1”，那么“1号位”上的数就应该是“1”，这与“1号位”上的“0”相悖，所以两位数中也没有自描述数。
对于三位数来说，能符合定理一和定理二的三位数只有如下5个：300,201,210,102,120，而这5个数均不是自我描述数（简单的排除法：300中0没有出现3次，201、210中0没有出现2次，102中2没有出现2次，120中1没有出现2次），所以三位数中也没有自我描述数。
对于四位数来说，我们可以做如下穷尽过程：1）假设第一个数字如果是4，后面要有4个0，这就变成五位数了，所以排除；2）假设第一个数字如果是3，说明后面3个数字都是0，而这不符合定理一，所以排除；3）假设第一个数字如果是2，说明后面三个数中有2个0，根据定理一另外一个数也是2，只有2200和2020两种可能，通过检验2200排除，2020是自描述数；4）假设第一个数字是1，后面只能有1个0，而另外两个数加起来得是3，所以另外两个数是1和2，所以这是一个由两个“1”、一个“2”、一个“0”组成数字，没有出现“3”，所以“3号位”也就是最后一位数是“0”，出现了一个“2”，所以在“2号位”上的数是“1”，所以这个数字是1210，这与上述视频中给出的例子是相符的。
也就是说，在四位数中有两个自我描述数：1210和2020。
上面我们通过穷尽法确定了一位数、两位数、三位数中不存在“自我描述数”，并成功找出四位数中的两个“自我描述数”。那么，更高位数的“自我描述数”如何寻找呢？比如这个视频中要求找出十位数的“自我描述数”，如果用这种穷尽法寻找，那就太辛苦了，找是能找得出来的，但是耗时肯定太长了。
所以我们要寻找一般性的方法。
4.高位“自我描述数”的一般公式
通过上述穷尽的过程，尤其是对四位数中的“自我描述数”穷尽寻找的过程，我们可以知道，对于一个多位“自我描述数”的寻找，第一个数字的确定非常重要，这对我们探寻一般性方法非常重要，即“自我描述数”的第一个数和它的总位数是什么关系？这是找到一般性公式的核心焦点。
即要回答两个问题：1）一个n位数的自我描述数，它的第一个数m的取值范围与n有什么关系？2）m如果确定，其他位置上的数与n、m是什么关系？
以下，我们来逐渐缩小m的取值范围。
首先，m不可能等于n，因为如果m=n，它后面需要有n个0，这就变成n+1位数了，所以m的取值一定是小于n；
其次，m有可能等于n-1吗？如果m=n-1，说明它后面的所有n-1个位置上全部都是0，而这串数的总和是n-1，并不等于n，与定理一相悖，所以m的取值一定是小于n-1；
再次，m有可能等于n-2吗？如果m=n-2，说明它后面有n-2个0，以及另外一个非零的数x，也就是说，这串数中只有两个数非0，一个是m，一个是x，根据定理一（m+x=n），所以x=2，即当m=n-2时，另外一个非0的数只能是2。这是什么意思呢？这句话的意思是这两个非0的数是相同的（出现了2次），即m=n-2=2，所以n=4，m=2，即：只有在四位数的时候，m可以等于n-2，这时的自描述数是上面通过穷尽法找出来的2020。这是m可以等于n-2的唯一特殊情况，在其他任何情况，m都不可以等于n-2。
即，通过上述推理，我们可以得到m取值的最大可能值：m≤n-3。
那么m的最小可能值是多少呢？这要从另外一个思路来分析。
一个自描述数的第一个数字是m，表示这列数中有m个0，和n-m个非0。n-m个非0中，一个是m本身，及另外n-m-1个非0。根据定理一，m加上这n-m-1个非0的数之和是n，即：除首数字后的n-m-1个数的和是n-m，所以只能是n-m-2个1，和1个2。（举例：5个非零数的和是6，那必然是4个1和1个2）
所以，一个自描述数必然由这么几个数字组成：m、0、1、2（其中0有m个，1有n-m-2个，2有1个）。
由于m表示的是“0”出现的次数，1表示的是“m”出现的次数，所以2表示的只能是“1”出现的次数。所以，如果一个自描述数中有“2”，那么说明这个数据中有两个“1”，即“1”出现的次数最多可能是2个，即：n-m-2≤2（见上，n-m-2是“1”出现的次数）。把这个式子略作变换，即m≥n-4，这就是m的最小取值。
所以，一个n位自我描述数的“0”位数m的取值范围是：
n-4≤m≤n-3
即：m的取值只可能是n-3，或n-4。
当m=n-3时，该自我描述数中有n-3个“0”、1个“1”、1个“2”（注：根据定理一的要求，另外两个数加起来必须是3，所以只能1个“1”及1个“2”），而此时，“2”要能够成立，必须要求该数据中有两个相同的数，即必须要求m等于1或者2。当m=1时，n=4，此时对应的自我描述数由1个“0”、2个“1”、1个“2”组成，即在前面穷尽找出的四位自我描述数1210；当m=2时，n=5，此时对应的自我描述数由2个“0”、 1个“1”、2个“2”组成，便是五位数中的自我描述数21200。
因为有且只有上述两种情况，所以，只有在n等于4或5的时候，m才可以等于n-3，这时m可以取值n-3的唯二情况，在其他任何情况下，m都不可以等于n-3。
再依据前面推出的m取值范围（n-4≤m≤n-3），我们可以得到当n大于五位数时m的具体取值（不是范围而是取值了）。
因为：n-4≤m＜n-3
所以m=n-4（当n≥6时）
即，在所有六位及以上的自我描述数中，其“0号位”上的数字m永远等于n-4。
而另外三个非零数之和必须是4（还是定理一要求），所以只能是两个“1”和一个“2”。
所以，所有n位（n≥6）自我描述数由如下几个数字组成：有1个等于n-4的“m”、n-4个“0”、2个“1”、1个“2”。
但是这里面有一个特殊情况需要讨论，即当n-4=2时，这个结论无法成立。即当n=6时，m=6-4=2，于是这个数据变成了2个“0”、2个“1”、2个“2”， “0”、 “1”、“2”出现的次数是二次，所以要有3个“2”来完成自描述，这又与整个数据中有2个“2”相悖，所以不能成立。所以六位数中不存在自描述数。
所以，上述结论要调整成：所有n位（n≥7）自我描述数由如下几个数字组成：1个等于n-4的“m”、n-4个“0”、2个“1”、1个“2”。
这就完全正确了，因为此时n≥7，保证了n-4≥3，即m永远大于2，与其他的数字不再有重复的可能性。
但这还不是最后的结果，距离最后结果只差一步：确定位置。
首先m的位置是早就确定的，它是对m个“0”的描述，它在“0号位”，它的值等于n-4；
其次，“2”是对2个“1”的描述，所以它的位置在“1号位”，即紧贴着m；
再次，两个“1”中，一个是对“m”的描述，一个是对“2”的描述，所以一个在“2号位”，另一个在“m号位”即“n-4号位”。
必须要注一下：由于位数是从0号开始排序，所以第二个“1”所在的位置“n-4”号位便是整个数据的第“n-3”个数，它的后面有3个“0”，所以它的前面（即两个“1”之间）有n-7（即n-4-3）个“0”。
所以，一个n位（n≥7）自我描述数的一般式便是：
n-4,2,1，……，1,0，0,0
（其中省略号表示n-7个0）
所以，我们只需要根据位数，就可以立即写出这个位数的自我描述数。而每个自我描述数之间的区别仅仅是：第一个数“n-4”根据位数“n”变化，两个“1”之间的“0”的个数（n-7）根据位数“n”变化，其他6个位置的数没有任何变化。这就是自我描述数的真正秘密。
所以，我们能立即写出七位数的自我描述数是：3211000；（第一个数是7-4=3，两个“1”之间有7-7=0个0，其他6个数不变）
以及十位数的自我描述数是：6210001000；（第一个数是10-4=6，两个“1”之间有10-7=3个0，其他6个数不变）
这两个数便是开篇视频中谈到的两个自描述数（其中的十位自我描述数便是视频中要解答的谜题）。
5.从最小到最大的“自我描述数”
基于以上推理，我们可以迅速地从最小到最大写出十进制中全部的自我描述数。如下。
1位数：不存在
2位数：不存在
3位数：不存在
4位数：1210和2020
5位数：21200
6位数：不存在
7位数：3211000
8位数：42101000
9位数：521001000
10位数：6210001000
11位数：72100001000
12位数：821000001000
13位数：9210000001000
由于单个位置上的最大阿拉伯数字只能是9，所以用阿拉伯数字表示的最大十进制自我描述数便是13位的9210000001000。
当然，如果超越阿拉伯数字的范畴，第一个数字用其他符号来表示，比如用英文字母abcd……来表示10/11/12/13……，那么十进制的自我描述数的范畴可以继续扩大、无限扩大。
举例而言，用英文字母中的第16个字母“p”来表示25（=9+16），用第8个字母“h”来表示17（=9+8），我们就可以分别得到一个29位自我描述数和一个21位自我描述数：
p2100000000000000000000001000
（29位自我描述数，第一个数为p=29-4=25，两个1之间有29-7=22个0，其他6个位置的数无变化）
h21000000000000001000
（21位自我描述数，第一个数为h=21-4=17，两个1之间有21-7=14个0，其他6个位置的数无变化）
以上便是对此前所转视频“自我描述数”的全部解读。能读到这里的人都是热爱知识热爱数学的人，谢谢。
（完）
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