2021波兰数学奥林匹克 第二轮 中文翻译

第一天

1.杰克将张分别写有的卡片按任意顺序排成一列放在桌面上. 派将每张卡片染成红色,黄色, 蓝色之一. 随后, 杰克从开始, 按卡片上的数字从小到大的顺序依次取走这些卡片. 求证: 对任意放置方法, 派都可以选择合适的染色方式, 使得在杰克取走卡片的过程中, 任意时刻, 任意两张同色的卡片之间必有至少一张其他颜色的卡片.

2.在平行四边形中, 为边上一点, 且满足. 过两点作与直线相切的圆, 圆心为. 求证: .

3.正整数满足. 求证: 存在正整数, 使得

第二天

4.实数满足, , 且 .已知 和 均为有理数. 求证: 也为有理数.

5.求最大的正整数, 使得平面上存在个矩形 和 它们的边均与坐标轴平行, 且满足:
对任意, 矩形 和 没有公共点;
对任意 , , 矩形 和 有公共点;
注: 两个矩形有公共点, 指这个点在这两个矩形的内部或边界上.

6.设为素数. 考虑函数

设表示集合的满足以下条件的全部排列 :
可以被整除
对任意, 均有 .
求证: 集合 和 元素个数相同.