如何确定二次函数abc的范围以及关于abc的式子

二次函数是初中数学的重点内容之一，它的图像是由字母系数a、b、c的符号确定的，反之在给定抛物线的条件下如何确定字母系数的范围呢?现将二次函数的图像与字母系数的关系归纳如下：

特例

  • 当x=1时，y=a+b+c

  • 当x=-1时，y=a-b+c

  • 当x=2时，y=4a+2b+c

  • 当x=-2时，y=4a-2b+c

  • 当x=3时，y=9a+3b+c

  • 当x=-3时，y=9a-3b+c

  • 若a+b+c<0，即当x=1时，y<0

  • 若a-b+c>0，即当x=-1时，y>0

  • 当对称轴为直线x=1时，则2a+b=0

  • 当对称轴为直线x=-1时，则2a-b=0

从上述中我们可以得出从二次函数的图象也可以得出关于系数a、b、c的相关信息，做此类问题一定要注意数形结合.

另外强调一点：

1、通过一些不等式和等式进行消元，判断一些缺少a、b、c其中一个字母的不等式！！！

2、一定要把图中数据用全，否则缺一些等式或者不等式。

例题讲解

例1二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点

在 （ ）

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【分析】根据图象开口向下可得a<0，根据对称轴在y轴右侧可得a、b异号，则b>0，抛物线与y轴交于正半轴，可得c>0，所以

<0，则点M（b，

）符合第四想象点的坐标特征（+，-），故选D.

例2 若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两个交点，则a的取值范围是 （ ）

A.a＞0 B.a＞- 4/9

C.a＞ 9/4 D.a＜9/4且a≠0

【分析】根据抛物线与x轴有两个交点，则b2-4ac>0，即32-4a×1>0，解得a＜9/4，根据二次函数定义可知a≠0.故选D.

▲易错警示▲不要忽视二次函数表达式中二次项系数不为0这一条件.

例3 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：

① a+b+c＜0，②a-b+c＞0；③ abc＞0；④b=2a 中正确个数为（ ）

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

【分析】

  • a+b+c是当x=1时y的值，根据图象可知当x=1时，图象上对应的点在x轴下方，则y=a+b+c<0，故①正确；

  • a-b+c是当x=-1时y的值，根据图象可知当x=-1时，图象上对应的点在x轴上方，则y=a-b+c>0，故②正确；

  • 根据图象开口向下可得a<0，根据对称轴在y轴左侧，可得a、b同号，故b<0，根据图象与y轴交于正半轴可得c>0，所以abc>0，故③正确；

  • 由图象得抛物线的对称轴为直线

  • x=-b/2a=-1，则b=2a，故④正确；故本题选A.

我以为大家准备好专题复习，加我微信，发送“abc”，提供word版。

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