大多数人都解不出的一个 5 元方程组，敢来试试吗？
引言
最近发现一道解 5 元方程组的题，方法巧妙，但大多数人都做不出来。这道题形式很简单，如下：
试求所有五元实数组
，其中
，并满足下列方程组
本题解答过程并不繁琐，但是方法很难想到。有兴趣的读者可以先尝试做一做，然后阅读下面的分析以及解答过程。
分析
拿到本题的大多数人会有这样几种尝试。
尝试一：逆其道而行，证明其无解
分析：这种尝试是 100% 徒劳的，此题是有解的
尝试二：代入特殊值然后猜答案
分析：这种尝试也是 100% 徒劳的，此题没有显而易见的特殊解，甚至都不全是有理数，不可能猜到答案的
尝试三：方程组之间各种加减乘除，恒等变形
分析：这种尝试一开始就应该放弃，这是 5 元 5 次方程组，未知数和次数都太多了，不适合通过加减乘除来处理方程
本题的巧妙性就在这里，它让你没有办法蒙到答案，也让你很难下手，但是看了答案让你恍然大悟。解决本题的关键在于观察，或者一定的三角函数倍角公式的基础。本文提供两种解题方法：构造函数法以及三角函数法。
解法一：构造函数
据题意，构造下列函数
先证明一个引理。
引理：
在
上恒成立。
证明：求导数，
令
可以得到下面几个根
单调递增区间为
单调递减区间为
那么在区间
上面所有可能的最小值点只能是
注意到
那么
在
上恒成立，等号成立时当且仅当
证毕！
我们引入一个循环求和符号
那么方程组可以改写为
一方面，我们有
另一方面，根据上面证明的引理，有
要使得等号成立，只能有
根据上面的引理，
可能的取值只能是
经计算及验证，原方程组的解为
=
及其轮换。
解法二：三角函数
由于五个元都在区间
上，因此我们必然能够找到五个角
使得
我们将原方程组改写为
根据五倍角公式：
将上列 3 式乘以 16，减去 2 式乘以 20，加上 1 式乘以 5，再用上式代入得
这种情况只能是
因此，
经计算及验证，原方程的解为
及其轮换。
点评
本题的解答使用三角恒等式以及构造函数两种思路，使得看似不能变形的方程组迎刃而解，十分巧妙，值得反复练习。本题来源于 2002 罗马尼亚数学奥林匹克。