学习CFD，只懂直角坐标系怎么够？

相信在大多数CFD研究者眼里，流体力学与传热学基本上就是求解关于质量、动量以及能量守恒的偏微分方程。

只不过，CFD发展到现在，再想拿顶盖驱动流、水中气泡上升等这种简单问题来水文章已经比较困难了。于是，像帕坦卡这种水博士就只能把几何模型越做越复杂，再强行总结一些规律出来。反正世上结构千千万，总有一个和之前的不一样。虽说没什么卵用，但是却能帮帕坦卡水SCI顺利毕业啊！这就够了。

这种结构，相信大家已经见怪不怪了

不同的几何结构，自然也就有不同的处理方式。一般而言，我们主要采用直角坐标系计算方形区域；对于圆柱形区域内的计算，则使用柱坐标系更为方便；而对于球形区域内的计算，我们往往使用球坐标系。

是不是用圆柱坐标系更好些？

1. 拉普拉斯算子

下面就来看一下，温度T的拉普拉斯算子在不同坐标系下的表达式到底有什么区别？

首先，在直角坐标系(x, y, z)下，毋庸置疑就是

那么，如果采用柱坐标系(r, θ, z)的话，上述表达式又应该是是什么呢？

我们已经知道，在直角坐标系下，温度T是x, y, z的函数，而x, y, z又分别是柱坐标系变量r, θ, z的函数，也就是说

所以有

进一步，

将三者求和，即可得到

整理一下后就是

这就是温度T在柱坐标系(r, θ, z)下的拉普拉斯算子。

同理可得到温度T在球坐标系(r, θ, φ)下的拉普拉斯算子为

一通操作之后，我们总算勉强得到了温度T在三种坐标系下的拉普拉斯算子，可是相信很多人看后仍然觉得，这也太复杂了吧！

不止如此，偏微分方程里面还涉及梯度和散度的计算，而关于向量的处理则更加复杂！

2. 拉梅系数

幸运的是，数学家已经为我们完成了上面的推导，并把不同坐标系下的梯度、散度以及拉普拉斯算子建立了联系，这就是所谓的拉梅系数。

G·拉梅（Lame，Gabriel，1795.7.22-1870.5.1）法国数学家、工程师

假设直角坐标系(x, y, z)与一正交坐标系（注意必须是正交坐标系）(α, β, γ)满足

则拉梅系数为

从而不同坐标系下的梯度、散度以及拉普拉斯算子为

有了上面的理论基础，我们只需要求出不同坐标系下对应的的拉梅系数，就可以轻轻松松获得该坐标系下的偏微分方程表达式了。

首先来看柱坐标系(r, θ, z)，我们可以计算出

从而柱坐标系(r, θ, z)下的梯度、散度以及拉普拉斯算子为

显然，使用拉梅系数得到的关于温度T的拉普拉斯算子与上文推导的结果一致。

同样地，在球坐标系(r, θ, φ)下，我们可以计算出

从而球坐标系(r, θ, φ)下的梯度、散度以及拉普拉斯算子为

而且，有了拉梅系数，即使对于除柱坐标和球坐标系下的其它正交坐标系而言，只要获得其坐标变量之间的关系，我们就可以很容易得到该坐标系下的偏微分方程表达式。

3. 总结

以上内容都没看懂？没关系，那就直接收走下面的表格吧。