二项式定理的深度学习

广东省广州市广州中学(510000) 林俊平

摘要 二项式展开中,括号里有三项或三项以上的时候求展开式中的某一项时,用组合数解法显得简洁快捷,充分体现对课本深度学习的好处,而且教会学生知识迁移能力.

关键词 深度学习;二项式展开;组合数

1 (a+b)n 的展开式是什么?

探究：如何利用两个计数原理得到(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4 的展开式? 继而猜想一下(a+b)n 的展开式是什么?

(1)根据乘法公式将(a+b)2,(a+b)3 展开,并将各项系数用组合数表示,有下列结论：

①(a+b)2 =a2+2ab+b2 =C02a2+C12ab+C22b2;

②(a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3 =C03a3+C13a2b+C23ab2+C33b3.

(2)类比上述方法,将(a+b)4 展开,你能得到什么?

(a+b)4 = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)的各项都是4次式, 即展开式应有下面形式的各项： a4,a3b,a2b2,ab3,b4,展开式各项的系数：上面4 个括号中, 每个都不取b 的情况有1 种, 即C04 种, a4 的系数是C04; 恰有1 个取b 的情况有C14 种, a3b 的系数是C14, 恰有2 个取b 的情况有C24种, a2b2 的系数是C24, 恰有3 个取b 的情况有C34 种, ab3的系数是C34,有4 都取b 的情况有C44 种,b4 的系数是C44,∴(a+b)4 =C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34a3b+C44b4.

(3)将(a+b)n 展开呢?

2 归纳总结,二项式定理

(a+b)n = C0nan +C1nanb+···+Crnan-rbr +···+Cnnbn(n ∈N∗),该定理有什么特征?

(1)(a+b)n 的展开式的各项都是n 次式,即展开式应有下面形式的各项： an,anb,··· ,an-rbr,··· ,bn,

(2)展开式各项的系数：

上边有n 个括号,则每个括号都不取b 的情况有1 种,即C0n 种,an 的系数是C0n;

恰有1 个取b 的情况有C1n 种,anb 的系数是C1n,……;

恰有r 个取b 的情况有Crn 种, an-rbr 的系数是Crn,……;

有n 个都取b 的情况有Cnn 种,bn 的系数是Cnn;

∴(a+b)n = C0nan+C1nanb+···+Crnan-rbr +···+Cnnbn(n ∈N∗),这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫(a+b)n 的二项展开式.

(3)它有n+1 项,各项的系数Crn(r =0,1,··· ,n)叫二项式系数.

(4)Crnan-rbr 叫二项展开式的通项,用Tr+1 表示,即通项Tr+1 =Crnan-rbr.

下面重点介绍一下课本上没有明说而很多师生容易忽视的一种简单明了的解题方法：用组合知识如何求某一项的系数? 尤其是括号里面有三项或三项以上的时候求展开式中的某一项时优势特别明显.

例1 求(x2+4x-5)4 的展开式中x 一次项的系数

(1)通常解法分析：要把上式展开,必须先把三项中的某两项结合起来,看成一项,才可以用二项式定理展开,然后再用一次二项式定理,也可以先把三项式分解成两个二项式的积,再用二项式定理展开.

解：(法一)

显然,上式中只有第四项中含x 的项,∴展开式中含x 的项的系数是C34 ·4·(-5)3 =-2000.

(法二)：

∴展开式中含x 的项的系数是-C3454+C3453 =-2000.

(2)组合知识解法： x 的一次项是： C14(4x)C33(-5)3 即系数为C144(-5)3 =-2000.

用这个组合数解法简洁快捷,优势特别明显,这就是课本深度学习的好处,而且教会了学生知识迁移能力.

例2 求(x2-x-y)5 的展开式中,x5y2 的系数为____.

解：方法一,利用二项展开式的通项公式求解．

(x2-x-y)5 =(x2-x)-y5, 含y2 的项为T3 =

其中(x2-x)3 中含x5 的项为C13x4·(-x)=-C13x5.所以x5y2 的系数为-C25C13 =-30.

方法二,利用组合知识求解．

(x2-x-y)5 为5 个x2 - x-y 之积, 其中某两个括号里面取-y, 剩下的3 个取括号中某两个括号里面取x2, 剩下的1 个括号里面取-x 即可, 所以x5y2 的系数为-C25C23 =-30.

例3(3-2x-x4)·(2x-1)6 的展开式中,含x3 项的系数为____.

解：由排列组合知识可知, 展开式中x3 项的系数为3×C3623(-1)3-2×C4622(-1)4 =-600.

例4 (1+

)(1-x)6 的展开式中x2 的系数为____.

解：(1+

)(1-x)6 的展开式中含x2 的项为1·C26(-x)2和

(-x)4.所以(1+

)(1-x)6 的展开式中x2 的系数为30.

例5 (x-y)(2x+y)5 的展开式中x3y3 的系数为____.

解：当前一个括号中取出x 时,其系数为C35 ·22 = 40,当前一个括号中取出-y 时,其系数为-C25 ·23 = -80.所以x3y3 的系数为-80+40=-40.

例6 (x-2y)2(x2+x-3)5 的展开式中x3y2 的系数为____.

解：x3y2 的系数为C22(-2)2·C15C14(-3)3+C35(-3)2=-1800,用组合知识求解这一类题目就是对课本知识的深度思考和理解.