2016吴中一模压轴题（二次函数中相似的存在性）多种解法

如图，二次函数（）的图像经过A(0，3)、C(3，0)、D（2,3）三点.

（1）求过A、D、C三点的抛物线的解析式；

（2）设Q为x轴上任意一点，点P是抛物线上的点，且在抛物线对称轴左侧，满足∠QCP=45°，问是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的三角形与△ADC相似？若存在，求出点P、Q的坐标；若不存在，则说明理由．2016吴中一模

本题是2016吴中一模。

题一解答忽略

我们重点讨论题二

也就是说在二次函数中，动点的考察是苏州历年的中考必考题型，此题是分支一种也是讨论二次函数中相似的存在性。

闲来无聊。一直在琢磨此题的多种解法.

先我们去简单分析在解决此类题。需要具备哪些必要的知识

1、熟练运用相似三角形的性质

2、学会观察如何导角

3、边的处理策略

4.需要强大的角和边综合运用，很多种题型适用不同策略。很容易走入死胡同，也不能完全说，但需要含强大的计算能力，在动点问题上很容易导致出现多次方程这个死胡同。

5必要的通法解题

解决问题，知其一，亦知其二

此题解题中很容易导致的错误认为P在X轴下方，其实也可以在上方

所以讨论时候分两种。

贴出通俗解法

①    点P在x轴上方，点P与点A重合

∠PCQ=∠CAO

△PCQ∽△CAD  可得 Q（1,0），见图一

△PCQ∽△DAC可得 Q（-6,0）见图二

②    点P在x轴下方：角平分线，或y=-x+3与抛物线的交点，易得P（-2，-5）

从而PC=，设CQ=x

则或者，解得：Q（，0）或Q(-12,0)

见图三  图四

故而可得Q（1,0）、Q（-6,0）、Q（，0）和Q(-12,0）

图一

图二

图三

图四

总图

本种解法是通用的，也就是始终卡死相似三角形的性质其中一个结论，两边成比例，且夹角相等，则亮三角形相似。这题就是角是定的，俗称一定两动。

那是否就这一种解法呢?

那如何找突破口呢？

前面是从特殊角入手解题的，我们也从角入手，因为是Q点在X轴上，只要求∠ACD的正切值，且AO已知，很容易确定Q点。

我们知道求正切值，必须垂直入手。

那如何求出的？从哪开始入手辅助线？

在平面直角坐标系中，通常我们建议入手是一线三垂直，俗称K字形

很容易求出AE的解析式，以及CD解析式，得出E点坐标。利用K字形相似很容易求出

AE：AC的比值1：2所以很容易口算出Q点在（-6，0）

同理由全等可知，Q（1，0）

在X轴下方时候

因存在特殊45°。P点很容易得出，（-2，-5）PC的值,设存在Q点，过Q点PC垂直交于F。设FC=a=QF=1/2FP。得出PC=3a.，求出a的值，获得QC=10/3.即Q点是（-1/3,0）

同理由于已经知道P点的纵坐标，很容易得出QH=10,即Q点（-12，0）

本文也可以构造角，促成一线三等角方法使用。会的话可以自己琢磨。难度比较大。

我还在想使用旋转解决。因为本身此题正切值都比较特殊。