中考数学压轴题：折叠后相似

【中考真题】

（2020·成都）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB＝5，且AF·FD＝10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求的值．

【分析】

题（1）求度数，只需要利用2倍的关系，得到∠ABF为30°即可迎刃而解。

题（2）遇到线段乘积，首先想到的必然是相似。根据图形，可以得到一对三垂直的相似。易得AB·DE=AF·DF，代入求解即可。

题（3）求比例关系，可以考虑相似。但是图中很难找到相关的相似三角形。而题目中的角平分线可以是思路的一个突破口，考虑过点N作BF的垂线，利用角平分线的性质得到线段相等。

此时恰好有一对A型相似，可以得到边长的比例关系。由于NF是BF的一半，所以得到相似比为1:2，那么设未知数就可以表示出所有的线段，然后得到aB与BF的比值。

本题如果被条件“NF＝AN+FD”误导，进而进行截长补短等，则时间就浪费了。因为无法直接构造全等。所以这个条件有时候会把人带偏，其实本意想表达的是NF为BF的一半。

当然，这题其实完全可以利用高中的三角函数进行求解。

设∠FBN=α，在△BNF中，∠BNF=90°＋α，且设BF=2NF=2x，

根据正弦定理得，2x/sin（90°+α）=x/sinα，得tanα=1/2，然后利用∠ABF=2α得到AB/BC=AB/BF=cos2α=cos²α-sin²α=3/5。

本题利用高中正弦定理的知识进行求解反而更简单。所以这题出的还是不够好，容易给中考往错误的方向引导。

【答案】解：（1）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，
∵BC＝2AB，
∴BF＝2AB，
∴∠AFB＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF＝30°，
∴∠CBE∠FBC＝15°；
（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF，
又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠AFB＝∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴，
∴AF·DF＝AB·DE，
∵AF·DF＝10，AB＝5，
∴DE＝2，
∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3，
∴EF＝3，
∴DF，
∴AF2，
∴BC＝AD＝AF+DF＝23．
（3）过点N作NG⊥BF于点G，

∵NF＝AN+FD，
∴NFADBC，
∵BC＝BF，
∴NFBF，
∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴，
设AN＝x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN＝NG＝x，
设FG＝y，则AF＝2y，
∵，
∴，
解得yx．
∴BF＝BG+GF＝2xxx．
∴．