方阵问题

一、什么是方阵问题

方阵是指许多人或物等元素按一定条件排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题。

二、方阵问题相关规律及运算公式

1.方阵具有每层总数相差8,每边相差2的特点;

2.方阵一般分为两种：实心方阵与空心方阵。

空心方阵的基本公式有：每层元素个数=每边元素个数×4-4;方阵中元素总个数=最外层单边元素个数的平方-(最里层单边元素个数-2)的平方。

实心方阵的基本公式有：每层元素个数=每边元素个数×4-4;方阵中元素总个数=最外层每边元素个数的平方。

三、例题

【例题1】某学校的全体学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是108人，问：这个方阵一共有多少人?

A.748 B.752 C.784 D.729

【解析】根据方阵每层元素个数=每边元素个数×4-4可得，108=最外层每边元素个数×4-4，解得最外层每边元素个数为28，实心方阵元素总个数为最外层每边元素个数的平方，即28²=784人，故本题选C。

【例题2】用红、黄两色鲜花组成的实心方阵(所有花盆大小完全相同)最外层是红花，从外往内每层按红花、黄花相间摆放。如果最外层一圈的正方形有红花44盆，那么完成造型共需黄花(　)。

A.60 B.72 C.84 D.48

【解析】在方阵中，根据方阵具有每层总数相差8，则相隔一层相差16。题目中最外层一圈红花为44，则次外层黄花为36，下一层黄花为36-16=20，再下一层黄花为20-16=4，可知黄花总数为36+20+4=60。故本题选A。

【例题3】某校计算机学院学生组成正方形实心方阵参加学校体育节开幕式，能组成的最大方阵最外层人数为48人。问：该学院的学生人数在以下哪个范围内?

A. 144-155 B.156-168 C.169-195 D.大于195

【解析】根据方阵每层元素个数=每边元素个数×4-4可得，48=每边元素个数×4-4，则每边元素个数为13，此时方阵总人数为13²=169，而又根据题干“能组成的最大方阵最外层人数为48人”可知，该学院的学生人数一定不小于现在的方阵人数，且小于现在方阵每边加1的方阵人数，14²=196，故可知该学院人数在169-195。