玻尔兹曼熵与大脑，熵是如何支配大脑运作的？大脑的物理哲学

让我们回到1856年。

德国物理学家鲁道夫·克劳修斯（Rudolf Clausius）对他的热力学第二定律进行了微调，这是物理学的基本定律之一：

宇宙的熵趋于最大值。

和我们今天熟知的热力学第二定律不太一样，但已经很接近了。今天，热力学第二定律指出，孤立系统的熵不能随时间减少（因此，要么保持不变，要么增加）。

自然条件下，热量从较热的物体流向较冷的物体。集中在房间一角的空气会弥散到整个空间。所有这些过程似乎都有一个优先的时间方向，这意味着存在一些量（熵），它代表着系统的无序性，总是随着时间而增加。难怪熵被描绘成“时间之箭”。

但是熵到底是什么呢？

在1856年，人们对熵的概念只有一个粗略的理解，克劳修斯把它描述为系统的总热量和温度之间的比率。但这个定义并没有让物理学家满意，尤其是奥地利物理学家路德维希·爱德华·玻尔兹曼（Ludwig Eduard Boltzmann）。直到过了将近20年之后，玻尔兹曼才对这个问题有了更多的了解。

• 玻尔兹曼

这一切归结为一个简单的观察。每个孤立系统既可以通过微观状态在分子层面上描述细节，也可以通过宏观状态在全局层面上描述。微观状态的例子是所有单个分子在任何时间的空间位置和速度，而宏观状态通常由全局属性定义，如温度、压力和体积。

玻尔兹曼所作的重要观察是，知道系统的宏观状态并意味着能知道系统的精确微观状态。对于像温度和压力这样的宏观性质的知识，仍然存在一系列可能的微观状态。

这就好比说，如果我们知道一个逃犯在哪个城市，他的确切位置仍然可能在城市的任何街区内。注意，孤立系统的微观状态可能会发生非常迅速的变化。然而，系统宏观状态的变化速度要慢得多。就像逃犯更容易改变他所在的街区，而很难改变他所在的城市。

由此，玻尔兹曼定义熵为（刻在了他的墓碑上）：

这里，W是给定当前的宏观状态下，系统可以处于的微观状态数。k是玻尔兹曼常数。玻尔兹曼熵本质上是对系统详细微观状态的忽略的度量，给定其宏观测量。

现在来证明第二定律。

玻尔兹曼的组合论证

在他的整个职业生涯中，玻尔兹曼以不同的方式探索、证明和完善第二定律。这是必要的，因为他的同行们对他的理论提出了多种反驳。

这里，我们来看看他的组合论证，它对第二定律给出了清晰的解释和证明。

• 玻尔兹曼组合论证：如果我们在所有的微观状态中随机选取一个微观状态，它更有可能处于宏观状态B，而不是宏观状态A，这是因为B的微观状态比A多。

简而言之，组合论证说，给定一个能量固定的孤立系统，系统存在于特定宏观状态M的概率与M内微观状态的数量成正比。

要理解这一点，只需要考虑这样一个事实，孤立系统可以被系统所能达到的所有可能的微观状态完全描述。宏观状态本质上是一种人工构造，它以某种方式将微观状态组合在一起。例如，如果我们通过系统的温度来定义宏观状态，那么我们就把所有粒子速度均方相等的微观状态归为一类。

在这个前提下，组合论证自然地从基本概率中得出，如果系统所有可能的微观状态的概率都是相等的，那么系统存在于某一宏观状态M中的概率与M内的微观状态数成比例。

但是，这个观察如何证明第二定律？

它证明了，如果系统从低熵的宏观状态开始，那么随着时间的推移，系统有很高的概率达到高熵的宏观状态，这仅仅是因为高熵的宏观状态包含了更多的微观状态构型。

集中的空气会向外扩散，因为在大体积范围内散布着更多的空气分子构型。导线的纠缠是因为纠缠导线的构型比非纠缠导线的构型多。在所有这些情况下，系统最终达到更有可能的构型，从低概率的构型开始。

这就引出了涨落定理，它是一个类似于第二定律的陈述：

一个系统的熵产生违背第二定律的概率随时间呈指数递减。

请注意，这个定理暗示，系统仍然有一种非零的可能性，即随着时间的推移，系统的熵实际上会减少，这似乎违背了第二定律。缠结的电线可以自己解开，尽管概率很低。散开的空气可能会在一瞬间集中在角落里，这种可能性也很低。

真实生活中对熵波动的观察已经被科学家们证实了。

这个熵是绝对的吗

玻尔兹曼熵取决于我们对一个系统了解多少。如果我们测量更多系统的宏观属性（温度、压力、体积等），那么我们对系统的微观状态了解更多，得到的熵就更小，如果测量的更少，熵就更大。

因此，它在很大程度上取决于我们如何定义系统的宏观状态。

在逃犯的例子中，如果我们把逃犯的宏观状态定义为他当前的国家，而不是城市，那么我们得到的熵就会更大，因为我们对他的位置知道的就会更少。

玻尔兹曼熵似乎并不是系统的基本属性，而是反映了我们对宏观状态的选择。

这就提出了一个有趣的问题：

没有我们定义的宏观状态，有可能定义系统微观状态本身的熵吗？

假设系统是一个自习室，系统的微观状态由房间内所有物体的确切位置和形状所定义。例如，椅子、桌子、书籍和电脑等对象的精确空间位置和方向将构成系统的微观状态（假设所有对象都是静态的）。

现在，我们比较一下房间的两种微观状态。

• A：房间很乱，东西放的到处都是，没有任何合理的安排。
• B：一间布置得很好的房间，物品摆放得整整齐齐。

假设我们给这些个体的微观状态赋值熵。从直观上看，A组态系统的熵似乎应该大于B组态系统的熵。

但这意味着系统的微观状态与宏观状态无关，必然存在一个固有熵。

但是我们如何定义这个新的熵呢？简单地说，通过意识到一个凌乱的房间拥有更多的对象自由度，因此需要更多的信息来描述它的完整状态（即微观状态）。然而，一个有序的房间里的物体，它们的位置和方向受到更多的限制，因此一个有序的房间里的物体需要更少的信息来描述它的完整状态。

所以，一个系统的微观状态的熵取决于完全描述微观状态所需的信息量。与有序的房间相比，杂乱的房间所需的信息量更多，因为杂乱的房间比有序的房间有更多的随机空间。因此，任何系统都更有可能最终处于复杂的微观状态中，因为它们的数量要多得多。

但这是否意味着我们根本不需要宏观状态呢？

不完全是。这意味着我们不能任意地定义宏观状态。我们只能通过将所有需要相同信息量来描述的微观状态分组来创建宏观状态。这使得我们的熵与玻尔兹曼的框架一致。

生命是什么？——薛定谔

有了这个背景，我们可以问一下，从热力学的角度来说，任何生物的特征是什么。例如，我们是否也受第二定律的支配？是的，但我们似乎抗拒它。如果我们把人体想象成一间自习室，很明显，我们会尽量让这个房间里的东西保持有序。

爱尔兰裔奥地利物理学家薛定谔在他的著作《生命是什么》中写道：

……因此，一个有机体维持自身在相当高的有序水平（低的熵水平）上保持稳定，实际上就是不断地从环境中吸取有序。

换句话说，通过利用外部环境，生物将任何多余的内部熵排泄到周围环境（通过热量和物质排出），这有助于保持内部熵在一个稳定的水平。

由于我们刚刚论证了一个系统的熵必须依赖于完全描述系统微观状态所需的信息量，这意味着生物不断地试图简化对其内部状态的描述，与外部环境（通过热和衰变）增加内部复杂性的趋势作斗争。

最后，让我们来看看大脑

人类的大脑也是一个受物理规律支配的系统。但它也是根据薛定谔所说的，通过排泄多余的熵到周围环境来驱动的吗？

问题：对大脑的熵的理解是否足以解释智能的出现？

大脑不是一个孤立的系统。它不断地从外部世界获得输入。它是外部世界信息的消费者，就像生物是食物的消费者一样。

事实上，正如多年来许多科学家所论证的那样，大脑本质上创造了一个外部世界的内部模型，这个模型是由其一生中积累的感官信息所塑造的。

我们可以将大脑的微观状态M表示为任意时刻大脑内部状态的完整描述。每时每刻，大脑都会接收到大量的新信息，这些信息以神经元峰值的形式出现，称为X。X中的新信息会将内部微观状态M改变为一个新的M’。这种变化的结果是：

1. X的某些部分存储在新的微观状态M '中，因此代表了大脑会记住的X部分。这意味着微观状态现在包含了更多的信息，因此M '的内部熵将大于M（因为它需要更多的信息来描述）。
2. X中的其余信息将被排泄到周围环境中（即被遗忘）。但是忘记，或者更准确地说，删除信息，需要能量（兰道尔原理）。所以在X中没有到达M '的信息将需要能量被倾倒回周围环境。

大脑要想维持自己的生命，就像一个生命一样，它必须努力保持内部熵的稳定和尽可能低的水平，但同时也要使其能量消耗最小化。

这将导致以下优化问题，即大脑必须一直间接地执行：

最小化：

（内部微观状态熵+信息排泄/遗忘）

回想一下，内部熵是描述大脑最新的内部微观状态所需的信息，它是迄今为止所有感官体验的结果。排泄出来的信息是所有“过剩”的熵或信息，这些信息随后被投射回周围环境中，这就是被永久遗忘的信息。但是，遗忘的行为有助于使内部熵保持在一个稳定的水平。

上述最小化将迫使大脑不断追求对其感官的“更简单”和“更简短”的解释（最小化内部微观状态熵），同时确保这些解释尽可能多地解释感官体验（最小化排泄/遗忘的信息）。

大脑是没有捷径的。简单地忘记一切来维持一个非常低的内部熵水平是不会有帮助的，因为忘记需要能量。我们的大脑本质上被迫用更简单的低熵描述它的感官体验，同时保持相当低的遗忘水平。

我们在日常生活中也能体会到这一点。

还记得你真正理解一门学科或一种现象的时候吗，无论是数学还是科学？对我来说，那些时间让我觉得我能够越过所有复杂的信息，看到一个更简单的真相。一些最初看起来复杂和怪异的东西，通过简单的推理方法突然变得有意义。当我们经历这些时刻时，我们通常会为自己感到骄傲，我们觉得我们离理解事物的机理更近了。

事实上，如果存在一种更简单的理解，可以解释所有的数据，那么它肯定比以前更正确。

因此，我们发现仅基于熵的理解就提供了一个关于大脑功能的有趣的观点。

在最小化问题中，并非所有大脑的偏好都是相同的。有些人会优先删除较低的信息，避免遗忘，因此不关心更高层次的内部熵。另一些人会优先考虑低内部熵，因此不关心高信息丢失或遗忘。你是哪一种？