二元二次方程组的解法
一般的二元二次方程组如上，很不好解。所以中学数学课本里只介绍了很简单的几个例题，并没有给出一般解法，使人总感觉遗憾。我综合了几种资料中的介绍，总算是得到一套完整的解法，特此奉献给大家。其中资料 1 是我最先接触到的，但有的疑问并没有解开，后来参考另几种资料，方得明白。
在开始下面内容以前，先说明一下，二元二次方程组一般由两个方程组成，其中之一如果是一次的，或者是一元的，则利用代入法即可求解，这也就是中学课本里讲过的。因此下面只针对两个方程都是二元二次方程的情况。
下面谈谈我们的思路：如果其中一个方程的式子能分解成两个一次式的乘积，只要把这两个一次式方程分别和另外一个方程联立，当然也就成功了。如果不行呢？我们可以利用恒等变换，得到一个含参数 的新方程(3)，进而求解（下面的 和 即是方程(3)左边分解后得到的两个一次式）：
因此，我们的任务包括：得到合适的 值，对二元二次多项式进行分解。幸运的是，这两方面都有公式。
一、二元二次多项式能分解的条件
一个一般的二元二次多项式（注意交叉项和一次项系数前有个 ）
能分解的充分必要条件是：
以上结论的证明参见资料 2（原文给出的行列式有误，对照其后的展开式可知正确表达式）。我们只要把含 的方程(3)各项系数带入上面的行列式，就可以求出合适的 值。可以看出，这个关于 的行列式方程最高是三次的，大不了可以利用三次方程求根公式求出。
二、二元二次多项式分解的方法
有了合适的 ，仅能保证(3)式能够分解，但是如何分解呢？以下给出一种方法——取零法（见资料 3）：对可分解的二元二次多项式，先忽略掉所有含 的项，包括交叉项、 的二次项和一次项，对剩余的项进行分解，得到
再忽略掉所有含 的项，对剩余的项进行分解，得到
两式综合在一起（注意两个式子里的常数项是对应的），即原式可分解为
此法简单有效。而其中道理也很简单，把上面几个式子分别展开然后对比系数就可以，只是要注意必须先确定原式能分解才行。
资料 4 中介绍了二元二次多项式因式分解的公式法，比较复杂，这里就不介绍了。
三、某些特殊情况的求解
在资料 1 当中，还给出了几种特殊情况下的处理方法，即：
当 时，(3)中的二次项可消去； 当 时，(3)中含 的项可消去（不包括 项，有常数项）； 当 时，(3)中含 的项可消去（不包括 项，有常数项）； 当 时，(3)中只保留含有 的项（包括 项，无常数项）； 当 时，(3)中只保留含有 的项（包括 项，无常数项）。
在上述五种情况下，(3)式左端的分解更为方便。（以上写起来挺麻烦，但在实际做题时可以一眼看出来）
四、自己的理解
前面的方程(3)，当 变化时，其几何含义是过 、 交点的一系列二次曲线（不包括 本身）。而当我们求得满足前面行列式的 时，即表示为过 、 交点的两条直线。因为原来的两条二次曲线最多有四个交点，而由方程(3)得到的行列式是关于 的最高三次的方程，最多可以解出三个 值，恰好对应于过这四个交点的三对直线。换言之，对于满足行列式的 值，方程(3)可能对应于下面的直线 和 ，也可能对应 和 ，还可能对应 和 。
又，如果前面给出的行列式是关于 的三次方程，则必有一满足行列式的实根。如果所求得的 多于一个解，当然要选择最方便的那个代入到(3)当中去。
参考资料
《初等代数研究》，季素月等，上海科技教育出版社，1994 年，P181。 《平面解析几何方法与研究》第 1 卷，刘连璞，哈尔滨工业大学出版社，2015 年，P69。 《二元二次多项式的因式分解》，陈秀莲，理科考试研究·数学版，2011 年第 8 期，P23。 《初等函数基本运算及因式分解的方法》，谷学勤，安徽师范大学出版社，2014 年，P122。