数学里的e 为什么叫做自然底数？e为什么约等于2.718……

e 为什么叫做自然底数？用通俗易懂的方式，来解读e的自然之美，争取让有中学基础的人就能看懂。

什么是自然底数

e有时被称为自然常数（Natural constant），是一个约等于2.71828182845904523536……的无理数。

以e为底的对数称为自然对数（Natural logarithm），数学中使用自然（Natural）这个词的还有自然数（Natural number）。这里的“自然”并不是现代人所习惯的“大自然”，而是有点儿“天然存在，非人为”的意思。

以自然作为基础，会比人为强制规定作为基础更稳定和可靠。

例如：

英尺(foot)的长度就是根据人的脚长来人为规定，人的脚长差异太大，历史上英尺发生过很多次变化，不稳定，这是不自然的。

而海里的长度则接近自然，如下图，海里是根据地球周长计算的，是1角分的长度，变化就极小。

无处不在的e

1.自然数中的“自然”

古希腊认为像1、2、3这样的数，是事物本身就有的属性，可以用来描述日常事物的数量和顺序，无需过多解释，就是3岁小孩也能快速理解，所以这些数被称为自然数（Natural number）。

但这种朴素的自然观限制了数的范围，无法解释0，负数、分数、小数等数。古希腊人认为这些数并不自然，是人为了计算而发明出来的，不是自然的数。

现代我们知道，没有受过基础数学教育的人要想理解这些数，不仅需要了解更复杂的概念模型，还要熟悉加、减、乘、除等运算方法，只有这样才能完全明白。而更复杂的数，例如无理数、代数数和超越数，也需要了解更复杂的运算。

e为什么约等于2.718？

对于数列{ ( 1 + 1/n )^n }，当n趋于正无穷时该数列所取得的极限就是e，即

历史上误称自然对数为纳皮尔对数，取名于对数的发明者——苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier A.D.16-17)。纳皮尔本人并不曾有过对数系统的底的概念，但它的对数相当于底数接近1/e的对数。与它同时代的比尔吉(J.Burgi)则创底数接近e的对数。

对数表

数e的某些性质使得它作为对数系统的底时有特殊的便利。以e为底的对数称为自然对数。

我们的主角e，就是超越数，既然理解e的含义需要理解相关的运算，而这些运算最早都和利息有关。

2.利息中的e

e和圆周率π都是超越数，π的含义可以通过下图的割圆术来很形象的理解。假设等边形的最长对角线长度为1，只要等边形的边足够多，算出来的周长就可以越来越接近圆周率π。

但是解释e的含义却很难找到这样直观的例子，幸好在原文《An Intuitive Guide To Exponential Functions & e》中找到了很直观的图，只要理解了这个例子，e的含义就明白了。

假设你在银行存了1元钱（下图蓝圆），很不幸同时又发生了严重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的100%！

银行一般1年才付一次利息，根据下图，满1年后银行付给你1元利息（绿圆），存款余额=2元

银行发善心，每半年付利息，你可以把利息提前存入，利息生利息(红圆)，1年存款余额=2.25元

假设银行超级实在，每4个月就付利息，利息生利息(下图红圆、紫圆)，年底的余额≈2.37元

假设银行人品爆发，一年365天，愿意天天付利息，这样利滚利的余额≈2.71456748202元

假设银行丧心病狂的每秒付利息，你也丧心病狂的每秒都再存入，1年共31536000秒，利滚利的余额≈2.7182817813元

这个数越来越接近于e了！

哎呀！费了半天劲也没多挣几个钱啊！

对！1元存1年，在年利率100%下，无论怎么利滚利，其余额总有一个无法突破的天花板，这个天花板就是e，有兴趣的同学可以用计算器算一下。

我们和圆周率再做个对比：

●多边形的边数和利滚利的次数是相似的。

●对角线为1的n边等边形，n趋于无穷，周长就无限接近于π，即π是周长的最大值。

●年利率为1（100%）的1元存款，利滚利的次数n趋于无穷，存款就无限接近e，即e是存款的最大值。

换种表述方法：

●每个完美的圆，其周长都是π的倍数；

●每个理想的存款，其余额都是e的倍数。

这里停一停，你好好体会一下。

按照自然的观点，如果圆是最美的，那最赚钱的也是最理想的。

3.微积分中的e

有人说：我不懂微积分，估计看不懂！

没关系！你可以这样理解，积分是升维的过程，微分是降维的过程。

例如：

把一张张纸叠起来变成厚厚的词典，这是从2维变成3维的升维，这是积分；

把一大块羊肉，切成一片片羊肉片，就是从3维为变2维的降维，这是微分。

在微积分中，底数为e的指数函数ex，其导数还是这个函数ex，也就是不论求多少次导数，其导数就像一个常量一样永远是恒定的。不知道别人的感觉如何，反正我第一次知道时是很惊奇的。

举个例子：

就好像你切掉孙悟空的一部分，你以为是一小片肉，睁眼一看，居然是另一个孙悟空，而且一样大！

这种自相似或全息性太匪夷所思、太好玩儿了！

下面就是y=ex在直角坐标系中的样子

4.对数的底数

对数中最常用的底数是10、2和e

为什么要以10为底数？

因为我们使用10进制，数量级和科学计数法也是10的倍数。所以10x的逆运算，以10为底的对数 lg x最常用、最方便，所以又称常用对数。

10进制是数字表示法中最容易普及的，根源是我们有10个手指，人们初学数字时都喜欢借助10个手指学习1、2、3……10。到了学加减运算时，更是喜欢借助手指计算。不仅老师认为这样教学直观，学生也认为这样练习方便。通过教育，这个强大的习惯，被最广泛的传播和固化下来。但如果是8个腕足的章鱼发展出了文明，可能更喜欢8进制。

为什么要以2为底数？

因为2倍或成倍式的增长，即2x，是我们日常中最简单的指数式增长。我们经常说数量成倍、翻倍、翻番、翻两番，都是2倍率的增长。所以2x的逆运算，底数为2的对数 lb x 也会比较常见。

虽然对数的底数2和10是人们使用体验和认知体验最好的对数，但是在数学中，这两个数却是不自然的，因为都是在方便人的需要。

为什么e被称为自然底数？

用e做底数的对数表达方式是 ln x

前面在讲“利息中的e”时，曾拿π和e做过对比。

●边数越多越接近圆，利滚利越多越接近最大收益

●一个对角线为1的多边形，其周长最大值是π

●一个本金为1利率为1的存款，其存款余额的最大值是e

按照古希腊的自然思想来看：

●对于一个完美的圆来说，π才是自然的，是圆本身的属性，尽管从数值上是一个“无理”的数。

●对于最快速的指数增长来说，e才是自然的，这是指数增长本身的属性。

而科学家们也发现，在做数学分析时，用e做底数的对数 ln x 做计算，其形式是最简约的，用其他对数例如lg x 做计算，都会画蛇添足的多一些麻烦。

ln x 就像美学上的“增之一分则太长，减之一分则太短”。

2004年google公司IPO上市，创始人Larry Page和Sergey Brin决定上市融资总额为2718281828美元，也就是e的前10位数字。因为他们都精通数学，很喜欢e的自然之美，当然也希望公司能像ex一样实现指数型高速增长。

对数学家来说，最简就是最美。这是一种纯理性的美，通过感官是无法欣赏的，只有熟悉数学的人才能深刻的感受到。

结 论

1、历史上，'自然'是一种划时代的思维方法，自然还有和谐、完美的内涵；

2、随着利息、对数、指数的发明，人们发现了e的存在；

3、1元存1年，在年利率100%下，无穷次的利滚利就会达到e；

4、e和π一样都是内在规律，反映了指数增长的自然属性；

5、大自然中到处都有对数螺线的身影；

6、其他底数都是发明出来方便人使用，只有e为底数是被发现的；

7、数学家发现以e为底数的对数是计算中最简、最美、最自然的形式；

把e冠以自然底数、自然常数之名，把e为底数的对数称为自然对数，是数学家们用自己的方式对e所进行的美学评价。