中考数学压轴题分析:圆与三角函数

本文内容选自2021年荆门中考数学几何压轴题。题目以圆为背景,属于倒数第3题,难度一般。不过也是常考类型。


【中考真题】

(2021·荆门)如图,在中,,点在边上,过,,三点的交边于另一点,且是的中点,是的一条直径,连接并延长交边于点.
(1)求证:四边形为平行四边形;
(2)当时,求的值.


【分析】

(1)平行四边形的判定,只需证明两组对边分别平行即可。本题中,发现AD与CF为直径,易得四边形ACDF为矩形。那么就可以得到AM与CD平行,再根据垂径定理可以得到CF⊥AE,那么就可以得到CF与DM是平行的,结论不难求。

(2)有了(1)的结论,连接EF,易得AF=EF=DE=CD。那么就可以得到EF与AD平行,那么就会垂直于BC。再根据CD与AB的关系可以得到AB与MF、AF的比例关系。进而通过设未知数表示出其它的边长。在Rt△ACF中利用三角函数的定义进行求解即可。
【答案】(1)证明:连接、,

是的直径,
是的中点,






,,,
四边形为矩形,

四边形为平行四边形;

(2)解:四边形为矩形,四边形为平行四边形,








设,则,,,
在中,,

在中,,
在中,.

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