从辛普森案到赌场必胜法宝 01 | 用数学的语言看世界

本文选自《用数学的语言看世界》, 该书为理论物理学家大栗博司先生写给自己女儿的数学读本，全书以用“数学语言”解读自然为线索，用生动故事和比喻重新讲解了数学的核心原理与体系，并且讲解了把数学作为一门“语言”的思维方式，是数学入门，重新理解数学的科普佳作。 

现在让我们数学的语言再来看待世界, 首先在全球十大未破惊悚命案之一"辛普森杀妻案"中就会见到它的身影......

第一章 不确定的信息中作出判断

辛普森审判与德肖维茨教授的辩护主张

人生在世，有时需要作出重大决定。学校的考试題目只有一个答案, 但是在现实社会中却往往没有正确答案，而且现实社会也不一定会向 你提供有助于解答问题的所有材料。

当我们必须要从不确定的信息中 作出判断时，该如何是好呢？当我们获得新信息时，又该根据什么标准来更改自己的判断呢？现在，我来告诉你如何解决以上问題。

1994年，你还没有出生。那一年在美国洛杉矶发生了欧·杰·辛普森谋杀案，知名橄榄球运动员辛普森的前妻妮科尔·布朗及其友人罗纳德·古德曼被发现死于髙曼的寓所外，辛普森被怀疑是杀害两人的凶手。辛普森退役后以演员和喜剧演员的身份参加各类活动，并且深受人们喜爱。因此，这个案件在当时备受关注。来自美国各地的律师们组成了辛普森的辩护团，被人们称为“梦之队”。另一方面，检察院也召集了最精明能干的检察官。甚至电视上还直播了这场“世纪审判”的审判情况。

检察院提交了辛普森常年对布朗施暴的证据，试图用家庭暴力证明其有杀人嫌疑。然而，辩护团中的一名律师、哈佛大学法学院的艾伦·德肖维茨教授引用了美国联邦调查局的一个犯罪统计，即虐待妻子的 2500 名丈夫中只有 1 人杀害了自己的妻子，并且主张应该忽略家庭暴力这个证据。结果检察院无力反驳，最终无法让陪审员信服辛普森的施暴行为造成了杀人行为。但是，德肖维茨教授的主张纯属诡辩， 完全可以用数学语言驳倒。

刑事审判追究的是有罪的“概率'除非亲眼看见犯罪，否则就不能百分之百地断定有罪。检察院的工作就是要证明无罪的概率极小，法律术语叫作“排除合理怀疑，判定有罪”。至于多小的概率才能排除合理怀疑，这是一道数学无法判断的主观问题。法官和陪审员的职责正是对此作出判断。但是概率能用数字表达怀疑的程度，并通过这个 数字来判断是否存在合理怀疑。这就是数学的力量。

用概率来讲，德肖维茨教授的主张是有家庭暴力的丈夫杀害妻子的 概率是 1/2500, 因为这个概率极小，所以作为证据并无意义。法官和陪审员在作判断时，必须将所有相关信息考虑在内。实际上，德肖维茨教授忽略了一个重要的信息，即“妮科尔·布朗已经被杀害了”。如果把这个条件加进去的话，概率计算会出现完全不同的结果。第1章 的目的之一就是解释以上概率问题(文末会看到数学上如何解释原因的)。

FIRST▶

先来掷骰子

概率论的起源

概率是一种用数字表示某种主张正确率的方法。例如掷骰子的时候，掷出 1 的概率是多少呢？骰子有6面，分别标有 1 到 6, 这 6 个数字。 如果每一面都一样容易掷出的话，那么平均应该是 6 次里有 1 次会掷出 1, 即“掷出 1 的概率是 1/6 ”。

不过，如果骰子特殊，也会出现容易掷出 1 的情况。这样一来, 1/6 的概率并不准确. 只要通过反复实验，就能算出特殊骰子的概率。

假设掷 1000 次骰子，掷出 1 的次数是 496 次，那么得出的概率大于 1/6. 将两个概率相比，496/1000 = 0.496 大于 1/6 ≈ 0.167。

因为概率大于 1/6, 所以说明这颗骰子容易掷出 1。除非骰子状态发生变化，否则再掷 1000 次骰子时掷出 1 的槪率并不会发生改变。但是掷骰子的方法偶尔不同，所以无法保证是否能刚好掷出 496 次 1。因此 0.496 这个概率不是一个精确的数字。如果想要算出更加精确的概率，那么需要增加掷骰子的次数。掷骰子的次数越 多，实验得出的概率就越趋向于固定值。这个数学定律就是著名的“大数定律”。

以特定掷单个骰子的过程来展示大数定律. 随着投掷次数的增加，所有点数趋于相等, 且均值趋于3.5（骰子点数的期望值）

如上所述，计算概率的方法主要有两种，分别是：

【方法A】思考所有掷骰子的方法（从1到6)，假设掷出每个数字的概率相同，那么因为掷出的数字有 6 种可能性，所以概率为 1/6。

【方法B】实际掷骰子，计算(掷出1的次数)/(实际掷骰子的次数)得出概率。

虽然方法 B 无法得到准确概率，但是多亏有大数定律，只要增加实验次数，概率就越接近于固定值(使用特殊骰子的话等于 1/6)。另一方面，因为方法 A 中假设每个可能性发生的概率相同，所以在特殊骰子的情况下得出的概率并不准确。在后半部分，我将讲解如何在特殊骰子的情况下修正概率。

接下来我们来思考一下掷两个骰子时的情况。两个骰子都掷出 1,  即两个骰子同时掷出 1 的概率是多少呢？使用方法 A 时要思考所有可能性。每个骰子都有 6 个面，两个骰子掷出的数字组合方式一共有 6 X 6=36 种. 如果这 36 种组合出现的概率相同，那么同时掷出 1 的概率是 36 次掷出 1 次，即 1/36。1/36 相当于 1/6 x 1/6。也就是说， 一个骰子掷出 1 的概率是 1/6, 另一个骰子掷出 1 的概率也是 1/6, 二 者相乘便是两个骰子同时掷出 1 的概率。

两个事件同时发生的概率等于两个事件概率的乘积。虽然这是概率非常重要的性质，但并不是随时都能成立的。只有发生的两个事件相互独立时，才能运用上述性质。就当前情况而言，其中一个骰子掷出的数字不会影响另一个骰子掷出的结果。

SECOND▶

赌博中的不败之法

学好概率论, 赌场任我混?

接下来我将运用“两个事件同时发生的概率等于两个事件槪率的乘积”的性质, 来传授你赌博中的不败之法。

例如打赌猜测抛出的硬币是正面朝上还是背面朝上？如果不是特殊的硬币，正面朝上和背面朝上的概率均等于 1/2。考虑到硬币存在特殊情况，那么将正面朝上的概率设为 p，背面朝上的概率设为 q. 因为硬币只有正面和背面，所以两者的概率关系为 p + q=1。

打赌的内容是正面朝上的话贏 1 日元，背面朝上则输 1 日元。连续抛两次硬币， 两次都正面朝上的概率为 p x p = p^2。

打赌的内容是正面朝上的话贏 1 日元，背面朝上则输 1 日元。连续抛两次硬币， 两次都正面朝上的概率为 p x p = p^2。重复抛硬币的动作，连续抛 n 次，n 次都正面朝上的概率为 p^n。因为 p 小于1，所以 n 越大, p^n 的值就越小。按照一般常识，很少出现连贏几次的情况也是合情合理的。

假设刚开始时手上有 m 元，每次的赌注为 1 日元。赌博最重要的是把握脱身的好时机，赢的钱增多到 N 元时果断收手。要么开始赢钱时不要收手，直到赢得目标 N 元；要么就一直继续，直到输光。

将赢钱的概率记作 P(m,N). P 是英语概率“Probability”的首字母，常用作表示概率。为了表示 m 元变成 N 元的概率，再在 P 补充写上 (m,N). 这个概率大于 1/2 的话就有贏钱的希望，反之小于 1/2 的话最好还是尽早收手为好。概率的计算公式如下：

如上所述，我直接简要地导入了上述公式。该公式的解释过程有点复杂, 因此我将在个人主页上加以补充。另一方面，将手头上的钱输光的概率等于 1-P(m,N)。

不过，p=q=1/2 时，因为 q/p=1，所以右边的分子和分母均变成 0,那么 0 除以 0 就没有意义了。因此，出现这种情况时则采用以下计算方法，即

例如 P(10,20) = 1/2。此时拿 10 日元钱去赌博，所持金额翻倍的概率和输光破产的概率是五五开。

假设用于打赌的硬币与普通硬币稍微有点不同，p = 0.47, q=0.53。 如果使用上面的公式，P(10,20)≈0.23。换言之，所持金额翻倍的概率降低到 23%,输光的概率升至 77%. 只要在硬币上稍微动个手脚，例如将容易抛到背面的概率增加 3%，那么输光的概率就从 50% 增至 77%.

赌注越大，结局就越悲惨。例如想将 50 日元增加 100 日元， P(50,100)约等于0.0025，即 0.25%, 这几乎没有赢的可能。

这也是赌场能盈利的原因所在。美式轮盘上有 38 个小方格，其中  36 个分别标有 1~36, 1~18是红色，19~36 是黑色。如果仅有上述 36 个数字的话，转到红色和转到黑色的概率均为 18/36 =1/2。但是轮 盘上另外还有标有 0 和 00 的小方格，一旦转到这两个小方格，钱归庄家所有。在这个情况下赌博，对玩家来说贏的概率为 p=18/38≈0.47。

换句话说，这个原理与抛硬币时将容易抛到背面的几率增加 3% 相同， 计算的结果与刚才完全相符。拿 50 日元去赌博，假设每次的赌注为 1 日元钱，如果想着要翻倍，最终 99.75% 的概率都会输光。

相反，怎样设赌注才能对赌博稍微更有利呢？假设 p= 0.53, q=0.47,使用公式 P(m,N)，那么 P(50,100)≈0.9975.  p 跟 q 的值 与前面的情况相反，所持金额翻倍与输光的概率也正好相反。仅仅增加 3% 的有利条件，50日元翻倍成100 日元的概率马上变成了 99.75%。在这种情况下，除非运气特别差，否则谁都能贏。

公式 P(m,N) 能教我们很多知识。首先要知道“即使是仅有轻微不利条件的赌博，也绝不能参加”。因为轻微不利条件也会让输光的概率大大地增加。所以，参加类似轮盘赌和老虎机这种庄家可以控制 p 的赌博，很容易输的.

反过来说，想要在赌博中赢，只要设法让 p 大于 1/2 即可。例如 纸牌赌博 21 点，只要提前记住发的纸牌，就能处在优势。在美国的赌场，玩21点贏的概率大概设定在 p=0.495。如果记住纸牌，嬴的概率就会增至 p= 0.51。达斯汀·霍夫曼和汤姆·克鲁斯主演的电影<雨人>中就有类似桥段。以前我在普林斯顿高等研究院做研究时，同研究院的一个同事每个周末都会去大西洋城的赌场玩 21 点贏点零花钱。

仅仅增加 3% 的有利条件，50日元翻倍成100日元的槪率马上变 成了 99.75%。除非运气差到极点，否则都能嬴。换句话说，这种赌博只要“在条件稍微对自己有利时投入充足的资金，基本上都能嬴钱”。 这也是我的赌博必胜法宝。

道理听起来理所当然，不过请务必注意要“在条件稍微对自己有利时'即使有利的程度很低，只要概率对自己有利，投入大笔资金加上谨慎操作，的确能够在赌博中贏钱。反之，如果像拉斯维加斯的老虎机和轮盘赌那样已经被设定成对玩家存在轻微不利条件的话，即使你投入大笔资金，基本上都会以输钱告终（回顾一下假设 p = 0.47, 那么 P(m,N)≈0.0025。因此，决不能参加这类赌博。

在你今后的成长过程中也许会经历许多类似的事情。比如你想要健康长寿，但也许会生一场意想不到的大病，也许会在去学校的路上遭遇交通事故。健康长寿就跟拋硬币使钱翻倍的道理相似。如果偶然的积累会决定最终的结果，那么每一步是稍微有利还是轻微不利，不同的选择对结果的最终影响会天差地别.

在某种程度上，我们能够控制健康长寿的概率。例如饮食平衡、适当运动、拒绝吸烟、开车时系好安全带，等等。我们可以通过自身选择, 将有助于长寿的每一步转化成有利条件。当然天生的体质也会影响寿命。

如果天生体质较好，用抛硬币来比喻的话，就是最开始所持资金 m 比 较大。与此相反，每天注意身体健康与提高硬币正面朝上的概率 p 相同. 抛硬币时，如果 p= 0.47 那么 50 日元翻倍的概率只有 0.25%,但是如 果 p= 0.53 那么赢的概率达到 99.75%。概率 p 的值相差甚微，却会让结果产生巨大的差异。有句老话叫作“每一天的积累最重要”，使用概率公式 P(m,N)，我们能通过数字切实体会到每天积累的重要性！这正是数学的力量.

我们常常认为成功人士拥有某种异于常人的才能。当然其中有一部分人确实拥有不一样的才能，不过大部分人与常人并无不同。只不过, 这类人懂得一步一步积累，将概率改变成对自己有利的条件，从长远来看便与常人拉开巨大的差距。上面的概率公式正好教会我们积累的 重要性。

(未完待续)

上文节选自《用数学的语言看世界》, 已获人邮图灵许可, [遇见数学] 特此表示感谢!

《用数学的语言看世界》

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作者者：大栗博司 

出版社：人民邮电出版社图灵新知

出版年：2017年4月