【能"爆炸"的指数函数】- 图解高中数学

指数函数的图像

既然是图解, 那就先用一组指数函数的动画来热身吧:

上面就是一系列指数函数(Exponential function) 的图形. 指数函数形如:

可能关于定义域还会有一些疑问:

下面再来底数 a 不同时, 这一系列的函数图形, 注意观察 a 在不同范围内的图形单调性:

也就是说指数函数是否为严格单调递增或递减，全凭它的底a是否大于或小于1而定. 还有函数曲线的弯曲程度及爆炸式上升的速度均依赖于底数 a 的大小.

现在关于指数函数做一个小结:

特别重要的指数函数

在数学中非常重要的指数函数, 特指以 e 为底数的指数函数. 这里 e 是数学常数, 推荐查看【自然常数E的故事】, 这里只将 e^x 图像绘制下面, 不再赘述.

关于指数函数下面我们再来看两个相关的有趣故事.

希萨的棋盘问题

希萨是古印度的数学家, 传说是他发明了国际象棋献给了印度国王 Shirham, 国王十分喜欢这个游戏, 于是询问希萨想要什么赏赐.

希萨毕恭毕敬地对国王说: 请大王赐我一些麦粒就好了, 在棋盘上的第一格上放上 1 粒麦粒, 第二格上放上 2 粒麦粒, 第三格上放上 4 粒麦粒, 第四格上放上  8粒, .... 一直加到64格.

国王原以为只是一些粮食, 但经过算师计算之后, 发现所需麦子的数目即便是印度所有麦子都赏给希萨也不够.

这里希萨这里就用到了指数的知识, 把 2 作为底数, 棋盘的格子作为 x, 结果很快就有了数值上的爆炸上.  那现在让我们也算一算下这每一格子上需要放置的粮食颗粒数:

即便只是看最后一个格子上的麦粒数量也是个天文数字, 假设每粒小麦重 65 mg, 那么仅这个格子上的小麦重量就抵得上 9千多亿头牛的总重.

所以事实上, 这些粮食需要全世界几千年才能产生(或许感兴趣的话可以动手算下哦 ), 这就是拿指数运算来坑国王的例子了.

澳洲的国民公敌 - 兔子

18世纪, 英国人将欧洲的兔子带到了澳洲, 这里遍地青草, 加之澳大利亚并没有狐狸, 老鹰等兔子的天敌, 来着的兔子简直到了天堂, 这些萌萌的小家伙们除了吃吃吃就是啪啪啪了.