如何将复杂的向量微积分表达式转换成简单的图形？

1948 年，康奈尔大学的年轻物理学家 R·P·费曼在《物理学评论》杂志上发表了一篇名为《量子电动力学的时空方法》的论文。在这篇论文中，费曼介绍了一种使用矩阵来解决量子电动力学问题的新方法。然而，直到今天，人们也无法忘记费曼最伟大的发明——费曼图。

利用数学图形来描述亚原子粒子之间相互作用的费曼图给物理学带来了极大的影响。从数学角度来看，粒子相互作用的级数趋于无限。因此，即便这种相互作用比较简单，我们也还是需要用十分复杂的数学表达式才能表示出来。

费曼的过人之处在于，他仅利用简单的线形图像就表示出了相互作用的级数。费曼图让科学家们得以用一种全新且令人兴奋的方式思考粒子物理学。

随后，费曼和其他物理学家立即用这种简略图形拓展了自己的思路。曾与费曼在上个世纪八十年代一起工作过的美国物理学家弗兰克·维尔泽克曾经写道，“要是没有费曼图的帮助，我就无法计算出结果，也拿不到 2004 年的诺贝尔奖。”

当然，许多其他的物理学领域也依赖于复杂的数学计算。有趣的问题来了：我们是否能像费曼那样，利用图形信息来简化复杂的计算，并开启一个以新方法为主的崭新时代？

向量微积分是十分常见且非常好用的数学工具。韩国首尔大学的金俊辉和同事们设计了一个与费曼相似的方法，用简单的图形表达出了向量微积分。研究人员说道，“就像费曼图给量子理论研究领域带来了变革，我们预计用图形表示的向量微积分也会让相关的学习以及应用变得相对轻松。”

先讲一些背景知识。向量微积分是数学的一个分支，主要研究向量场的微分与积分。它在物理学领域中有着举足轻重的地位，因为宇宙中几乎所有的向量场——电磁场、引力场、流体流动等等，都可以用向量微积分来表示。

这也是为什么每个物理学以及工程学的本科生都要花上大把的“快乐”时间，来解决相关的数学难题或去理解其晦涩难懂的表达式符号。问题在于向量场是一个复杂的实体——向量场将单个向量分配到三维空间中的每一个点，我们还可以用一个更加复杂且被称作微分流形的数学方法来表示这些向量。所以，简单来说，一个向量场是无数个向量的集合。

在数学中，我们使用指数计数法来表示这些向量场。单个向量写作 ai，在三维空间中 i=1、2 或 3。另一种写法是：= [a1, a2, a3]。

当这些量以数学的方式相互作用时，问题就出现了。我们可以使用标量乘以向量场，也可以使用点积和叉积这两种不同的方式乘以向量场。计算的结果将会十分复杂，并形成一个巨大的多维矩阵。

在所有的情况下，我们必须仔细地追踪向量场的指数。任何物理学家都清楚把一个指数弄丢有多么的容易，也清楚把它们找回来有多么的困难。

之后，另一个挑战出现了。研究人员要弄明白这些向量场会随着时间以及一些其他变量的改变而发生怎样的变化。这是微分中的问题，因此物理学家们已经发明出了一系列叫做算子的工具——也许其中最著名的当属微分算子。

金俊辉和同事们所取得的进步就是开发出了能够取代指数记数法的图形表示法。研究人员用有一条线连着的方框表示单个向量。相比之下，并没有线从标量中延伸出来。

当两个向量通过点积相乘时，其得到的结果就是标量。金俊辉和同事们的图示法会自动表示出这一结果。在点积中，与两个相连向量相关联的线会得出一个外部无线的物体——换句话说，这就是一个标量。

然而，两个向量之间的叉积又会产生另一个向量。研究人员的图示法同样会自动将其表示出来。叉积的图形是一个英文字母“Y”，来自两个向量的线会与另一个向量相连接并向外延伸。换言之，又形成了一个向量。

这仅仅只是一个开始。研究人员又继续用图示法来表示更多其他的数学工具，例如微分算子以及向量微积分中用到的各种重要工具。他们还将研究成果应用到了张量之中，这是一种更加复杂的数学概念，每一个都具有两个或更多的指数。

研究结果价值极大。就像费曼图那样，金俊辉和同事们利用他们的图示法，将复杂的数学表达式转化为与之相关的简单图形。他们表示，“图形语言非常直观，并且能够自动地简化张量表达式。”

这种图示法的应用范围很广。金俊辉和同事们表示，他们的方法使得向量场微积分具备了可视化的特点，而整个过程却并不像玩乐高积木那样。研究人员说道，“孩子在玩乐高积木以及磁性积木这类益智玩具时，快乐的体验就像在'舞蹈图片上涂鸦’。如同费曼图这种用来解释基本粒子微观作用的最自然的图像语言一样，我们的方法也是向量微积分系统中最简洁的表达。”

费曼图无疑改变了物理学家思考粒子物理学的方式。然而，作为现代物理学以及工程学数学基础的向量微积分甚至具有更大的应用范围。

最大的问题在于，这种方法的应用范围到底有多大。它的答案将决定这种图示法究竟是会变革我们思考物理学的方式，还是会在数学方法的历史上留下奇怪的注脚。但无论出现哪种情况，费曼都将无比欣慰。