用最简单的数学做最聪慧的事情——弗赖登塔尔《作为教育任务的数学》读书笔记之十一

（接第十九章逻辑）

9.逻辑中“→”表示的“如果……那么……”与“或者”以及“并且”的句子是等价关系，而并非有明确的“如果我知道这个，那么我也能推导出那个也成立”的日常语言的意思。

p→q是关于p和q的一个函数

当且仅当p真、q假时，p→q假

那么，p→q与－p∨q等价

10.逻辑中“┝”表示“所以”、“则”诸意，p┝q表示如果假设p为真，则q就为真。

有p┝q,则有p→q

但有p→q，不止有p┝q

逻辑上，所有会飞的象都会下蛋，是对的，因为“会飞的象”是个空集。只要这是个空集，则以下都是对的：所有会飞的象都没有头，会飞的象长着红色的长毛……

11.日常语言，数学公式语言，形式化语言，三者存在很大不同。隔行对照翻译法。强调细节时形式化语言更具优势，强调整体理解时，改造过的日常语言更有效。量词及量词之间的约束方式很难掌握。学生要理解量词不借助具体背景是不可能的。

12.来来来，做一组练习：

∨x∨yxKy：存在一个x和一个y，x是y的一个孩子。即某人是一个孩子。

∨y∨xxKy：存在一个y和一个x，x是y的一个孩子。即某人有一个孩子（有个人有一个孩子）。

∨x∧yxKy：存在一个x适用于所有y，x是y的一个孩子。即某人是每个人的孩子。

∨y∧xxKy：存在一个y适用于所有x，x是y的一个孩子。即每个人都是某人的孩子（某人以每个人为他的孩子）。

∧x∨yxKy：对所有的x存在一个y，x是y的一个孩子。即每个人都是某人的孩子。

∧y∨xxKy：对所有的y存在一个x，x是y的一个孩子。即所有人以某人为他的孩子（每个人有一个孩子）。

∧x∧yxKy：对所有的x和y，x是y的一个孩子。即每个人都是所有人的孩子（每个人是每个人的孩子）。

∧y∧xxKy：对所有的y和x，x是y的一个孩子。即每个人以每个人为他的孩子。

太燃！喜欢😍！

13.接着来：

G（x，t）表示：我在时刻t抓住东西x

S（x，t）表示：我在时刻t看见东西x

t＜t'表示：时刻t先于时刻t'

现在我要试着翻译以下句子：

我总是看见一些东西：∧t∨xS（x,t）√

有时我什么也没看见：∨t－xS（x,t）——修订：∨t﹁∧xS（x,t）等价于∨t∧x﹁S（x,t）

有朝一日所有东西都会被我看见：∨t∧xS（x,t）我不知道这样的翻译是对是错，书上是∧x∨tS（x,t）

只要我看见什么，我就立即抓住它：∧x∨tS（x,t）→∧x∨t'G（x,t'）我这个表达不行，应该是：∧t∧x〔S（x,t）→G（x,t）〕

除非我以前看见过那样东西，否则我就没有抓住它：∨x∧﹁tS（x,t）→∨x∧﹁t'G（x,t'）错了！修订：∧t∧x｛﹁G（x,t）∨∨t'〔（t'＜t）∧S（x,t'）〕｝或者写成：∧t∧x｛G（x,t）→∨t'〔（t'＜t）∧S（x,t'）〕｝后者更加简洁。

昱见：突然对程序员心生爱慕与怜惜，编程这件事绝对是世界上最有趣味也最乏味的工作之一啦！不过，趣味绝对大于乏味，还是挺羡慕这些人精。又想起一件事，某技术大咖向我展示其在Excel里的一通神操作，上手不熟的我默默无语……技术是好东西，这句话若为真，是对技术和技术应用说的。

第十八章 概率和统计

1.接着做题：将骰子连续掷4次，出现6的可能性？把一对骰子连续掷24次，出现一对6的可能性？一个骰子掷1次出现6的可能性是1/6，掷1次不出现6的概率是5/6，掷4次不出现6的概率是625/1296，那出现6的概率就是671/1296，大于0.5；一对骰子掷1次，出现一对6的可能性是1/6×1/6＝1/36，不出现一对6的概率是35/36，24次至少出现一对6的概率是1-（35/36）²³+¹，比0.5小。

2.再来一题：



昱见：A只要再胜一盘就获胜了，也就是只要再下一盘，A获胜的概率就是1/2；B需要再赢两盘，也就是至少再下两盘，全赢的概率是（1/2）²即1/4。所以两人获胜机会比是1/2：1/4，即2：1。对吗？不对，因为我漏掉了A获胜的另一种可能性，即：即便B第一盘赢了，A还有机会赢第二盘而率先得5分获胜。

正确的思考：假设接下来下两盘棋（最多再下两盘即可决出胜负），所有的可能性情况如下：

（1）A赢，A赢；A获胜

（2）A赢，B赢；A获胜

（3）B赢，A赢；A获胜

（4）B赢，B赢；B获胜

所以两者获胜机会之比是3：1

昱见：天哪！概率应用不是我想象啊，稍不留神就会犯错。研究概率和统计的专家高手是世上最聪慧的人！

3.在提醒学生该怎么做之前让他们自行尝试错误，更有利于他们掌握。不要试图通过教授法则来避免学生出错。

昱见：小数界有位华应龙，虽然我不太喜欢他说“我就是数学”，但我认可他关于“化错”的实践与理念。更厉害的曹培英先生曾多次公开表达对华老师以及“化错”的不赞同（当然这是学术针砭，非常正常，特别健康，学术最忌只有一种声音，所以我也不必避讳），他认为正面引导必须是教学主流。对此，我有自己的看法。所谓“正面引导”离不开教师的示范启发帮扶，是立足“教”来说的，从某种意义上说，这正是千百年来“教师”的存在价值，教师是要“身正为范，学高为师”的。而“化错”是从“学习”出发来说的，通俗一点就是让学生自己来，那肯定大大增加出错率，学生错了不能不管呀！教师的作用在于“化”错，那化错的教师是不是就不要“身正”“学高”了呢？当然不是，相反，能够化错的老师不仅要身正为范学高为师，还需要了解学生，不仅会示范对的，更要会化解错的。所以，“化错”无疑是对“教”“教师”“学”的传统观念的一种发展，是一种新的尝试。可能，曹老反对的正是“化错”大张旗鼓的“标新”做法，曹老更欣赏对传统中宝贵经验的深刻领悟，在此基础上不断鼎新，哪有新？好的旧就是新。每次听曹老报告，读曹老文章著作，都能感受他极深厚的功力，那是长年累月深钻的厚积，天然浑厚，自带魅力。但是，我仍然支持华特的“化错”，我并不觉得这与曹老的教育思想有本质冲突。并且，我也赞同华特明确提出“化错”，只要做得踏实，为何不可？小学数学教学领域需要百花齐放百家争鸣，只要是扎实的，不放空炮不慕虚荣，为何不呢？内敛的和奔放的未尝不可以相得益彰，期待曹老不久的将来与“化错”联手探讨，哪怕拍桌子也好！俺们有福了，嘻嘻😄！

啊呀，说远了，我这思路太容易发散了。压住。

4.关于概率与统计有两种教学流派，一种是抽象派，视概率为与现实完全没有联系的抽象体系；一种是模型派，认为概率是有待填入数据的计算模型的体系。两者实际上相互配合补充。

5.大学教概率的目的是是学生体会数学的广泛应用性，从例子开始。简单的组合论是初等概率的主干。

（本章未完待续）