数学家的这些兴奋点，你能理解吗？
“数学是纯粹的，不需要华丽的修饰，一道道简洁又从容的公式，就能表达出这种纯粹的逻辑之美。素数出现在我们的生活中，又体现在生物进化的历程中，更让无数的数学家为之呕心沥血、如痴如醉。”
徐晓平
一提到数学，一般人都觉得太枯燥无味。但细细想、细细看，它又无处不在。今天我们从逻辑的角度，来领略数学的美。
首先，什么是数学？它是科学的描述和研究事物规律的方法和工具，是人类逻辑思维文明的重要体现，更是逻辑思维文明的发展平台。
我曾经问一个法国教授，数学有什么用？他告诉我，数学能使人更聪明，数学的价值不能单靠物质上是否有用来衡量。美国华尔街的金融机构，雇佣了大量的数学博士，看重的就是他们逻辑思维能力。
素数之美
自然数1、2、3、4、5，出现在古代人类文明中有五千年以上的历史。可是人们对自然数的认识，却是一个漫长发展的过程。比如说素数，也称为质数，是大于1的整数，它不能写成小于它的两个正整数之积，例如素数2、3、5、7、11、13、17、19等。
素数最早出现在古代埃及分数中。有5张大饼平均分给8个人，怎么分？先看古埃及怎么分，将其中4张各切成两半，剩下张切成8块，每个人的份额是半块加1/8块。
用现代数学表示，就是5/8等于1/2加1/8，它就是一个埃及素数。它是古埃及人刺在一种不易腐烂的树叶上的分配方案，是考古学家发现的。如果一个数是有限个分子为一的分数之和，它被称为埃及分数。古埃及人在类似的分配方案中，意识到了素数的特性。
对素数的研究的记载，最早出现在公元前300年的古希腊人欧几里得的《几何原本》中。欧几里得证明了有无穷多个素数，那么有没有更好的数素数方法呢？有，这就是所谓的素数定理。
我们数数看，小于X的正整数里有多少个素数？X小的时候能数，X大了很难数了。而素数定理告诉你，当X充分大的时候，这个值与X除于LnX的值相近。近看小于x的素数值看不出所以然来，远看它却表现出优美的规律，X除以lnX，这就是数学的美妙之处。
这是18世纪末，由高斯和勒让德独立发现的，但是并不是由他们证明。他们的发现只是一种猜测。两个人试图证明过，但没有成功。后来Chebyshev在1851年，Riemann在1859年尝试过并取得了进展，但是还是没有完全解决问题。
最终，1896年，Hadamard和Poussin独立地完成了证明。也许你会问素数有什么用？动物学家发现某些蝉的演化用到了素数。这些虫的一生，大多数时间以蛆的形式生活在地下，到化蛹出地洞需要7、13或17年，出来后翻飞繁殖，最多几周就死亡了。
为什么这些虫要素数年后才出洞呢？据说是为了减少被天敌追杀的概率。70年代，素数不仅是发明公钥密码算法的基础，还是现代许多数学领域里发展的根基。
公式之美
上世纪初，印度的天才数学家Ramanujan，在剑桥大学见到Hardy之前，给Hardy写了一封信，内含他发现的等式。
左边是个无穷的连分式，而右边却是个简洁的初等的表达式。Hardy看到后说：“它完全击溃了我，我之前一点也没有看过这样的东西，只有一流的数学家才能写出来！”，这就是让人眼前一亮的数学。
下面的例子跟我们的日常生活有关。一个自然数n的分割函数，是n个物体分配方案的个数，比如说n等于2有两种分法；n等于3有三种分法；等n等于4的时候就不是4种分法了，而是5种分法；n等于5，有7种分法。
我们看一下数字，P（2）等于2，P（3）等于3，P（4）等于5，P（5）等于7，P（10）等于42。大家看到P（100）已经很大，而到P（200）那就更大。看了这组数据以后，你可能会说增长太快了，没法数，但是有人会数。
Hardy和Ramanujan在1918年，Uspensky在1920年独立证明“当n充分大时，P（n）与近似号右边的初等函数的值相近。同样，近看P（n）的数字跳跃的很厉害，看不出什么规律，远看它却以一个初等函数的规律显示出来，这个结果是猜不出来的。
他们是用了数论里面的圆法，经过复杂的计算得到的，他们做出了别人难以想象的结果，分割函数也常出现在量子物理中。
数学的“残缺美”
听说过“残缺美”这个词吧？我们不得不想到，维纳斯女神的断臂雕像。
如果不是断臂，它只是普通西方女人的雕像，谁也记不住，可是一断臂，让看过的人终生难忘。那么数学上有没有这样的事情呢？
1637年费尔马在阅读丢番图《算术》的拉丁文译本，写到：“不可能把一个正整数的三次方，分成两个正整数的三次方之和；不可能把一个数的四次方，写成两个正整数的四次方之和；对正整数的更高次幂也类似。我发现了一个奇妙的证明，但这个空格太小了，写不下。”
这就是所谓的费尔马大定理。用公式写就是，对大于2的整数n，不存在正整数abc，使得a的n次幂加b的n次幂等于c的n次幂。其实费尔马自己只证明了n等于4的情形。欧拉证明了n等于3的情形。1995年，由当时在普林斯顿大学的Andrew wiles教授所证明。他现在在英国牛津大学。
由于没有看到费尔马留下的证明，人们尝试证明它的过程中发展了代数数论、椭圆曲线理论、Hecke代数理论等。
如果费尔马真的证明了并把证明留下来，那么这些理论的发展很可能延缓，所以这就是数学的“残缺美”。
还有没有解决的数学难题吗？有。对我们中国来讲，最熟悉的就是哥德巴赫猜测。
一个大于2的偶数都可以写成两个素数之和，这就是所谓的“1加1”问题。例如4等于2加2，6等于3加3，8等于3加5，10等于3加7，也等于5加5，12等于5加7等等，人们用计算机验证了所有小于等于4乘10的18次方的偶数，结论都对，可是到现在为止，人们仍然无法证明它。
1973年，我国著名的数学家陈景润证明，一个大于2的偶数可以写成两个素数之和，或一个素数加上两个素数之积。这就解决了所谓的1加2问题，这是该方向迄今为止最好的结果。
除此之外，还有一个问题叫做孪生素数猜测，存在无穷多个素数p，使得p+2也是素数，这是个千古之谜。到2013年，华人数学家张益唐证明了存在无穷多个素数，使得从p到p加7000万这个区间内也含素数，这是数论领域里面一项革命性的工作。
在这之前人们不知道是否有这样的有限区间存在，在这之后格林和陶哲轩等人用张益唐的方法把7000万改到200，取得了很大的进展，但是离最后的结果2还相差很远，算法上还需要改进。
我们常看到星星，可能没注意到有一个多体问题。物理学家和数学家一直试图找出相互有引力的n个物体的运动轨迹，n等于2时，已经被约翰·伯努利在17世纪解决；当n大于2时，却至今没有解决。
2007年我在解n个物体在一条直线上的特殊模型时，发现了具有高斯超几何函数3个基本性质的多元超几何函数。在1798年的博士论文中，高斯引进了著名的单变元超几何函数，它的重要性就是由这三个基本性质导出的。
流体我们都熟悉，Navier-Stokes方程就是流体力学中基本方程。
对任意给定一个光滑的初始条件，是否有光滑的整体解，这是数学界一个长期未解决的数学问题，也称为千禧问题，如果谁能解决就能得到一百万美元的奖金。
未解之难题，未登之高峰
2009年我利用该方程的代数特点和运动变化，得到了一些人反映特殊物理现象的奇异解，如漩涡。当然还有许多数学问题有待人探索。
也许你会问数学家为什么努力解决这些问题？因为这些问题是逻辑思维的标杆，解决它们就代表人类逻辑思维能力达到了新的高度，就像登山爱好者攀登高峰一样。
1993年我去西班牙参加一个代数会议，在会议间歇期间，我问一个来自美国威斯康星大学的资深教授，为什么在他报告的Novikov代数分类中，要假设特定的条件。他说没有这些条件我做不出来。
回到单位我很好奇地自问，没有这些条件的障碍在哪？在办公室想，在家也想，都没想出个所以然。
但在某一次登山的过程中，我又想了想，突然灵光一闪，想到了扫除这些障碍的方法。当时我觉得比别人中彩票还高兴，数学家一旦解决长期没解决的问题，这种喜悦绝对超过挣到一百万块钱。