判断充要条件的四种常用方法

一、定义法

定义法即借助“

”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着是充分，即：

1. 若p

q但

，则p是q的充分但不必要条件；

2. 若

，则p是q的必要但不充分条件；

3. p

q且q

p，则p是q的既充分又必要条件，即充要条件；

4.

，则p是q的既不充分又不必要条件。

特别要注意，若p

q，则有以下说法是等价：

①p是q的充分条件；

②q是p的必要条件；

③p的一个必要条件是q；

④q的一个充分条件是p。

例1.

的什么条件？并说明理由。

解：由

，但反之不成立。

不妨取

，但不满足

。

由定义（即箭头方向）可知，

的必要但不充分条件。

二、传递性法

根据充要关系的传递性来判断的方法叫传递法。

充分条件具有传递性，若

，则

，即

。

必要条件也有传递性，若

，则

，即

的必要条件。

当然充要条件也有传递性。因此，对于较复杂的（连锁式）充要关系的判断可用连锁式的传递图示法来解答最为适宜。

例2.若A、B都是C的充要条件，D是A的必要条件，B是D的必要条件，则D是C的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

分析：宜采用传递性法来解。

解：由已知

，

即有如下关系式：

由传递性，知

，故选C。

三、集合法

若将命题p、q看成集合，当p

q时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，即

。这可以用“小范围推出大范围”帮助记忆。当p＝q时，则p、q互为充要条件。

特别地，

1. 若

，则p是q的充分但不必要条件；

2. 若q

p，则p是q的必要但不充分条件；

3. 若p＝q，则p是q的既充分又必要条件，即充要条件；

4. 若

，则p是q的既不充分又不必要条件。

例3.设集合

，那么“

，或

”是“

”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

解：由

且

，显然

，故选B。

四、等价命题法

当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系（特别是对于否定形式或“≠”形式的命题）时，可利用原命题与其逆否命题等价性来解决，即等价转化为判断其逆否命题。

例4.若

，

，则p是q的___________条件。

解：考虑逆否命题：

，显然有

，所以

，即p是q的必要但不充分条件。

注：此例中若直接分析，则需分多种情况讨论，且还很难说清。

例5.已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么

的__________条件。

分析：根据题意知A

B，又因为原命题与其逆否命题等价，即

，即

的必要条件。