芝诺悖论：永远走不到的冰激凌店

假设有一天我想吃冰激凌，我家离冰激凌店有一段距离，为了显示我的数学水准，我给自己定的走路规则是：我走一半路程之后，马上又走剩下一半路程的一半，如此继续走下去，每一次总是走剩下路程的一半，如此循环下去。

我可能离冰激凌店越来越近，但是，无论我走了多少个一半的路程，我永远到不了冰激凌店，我和冰激凌店之间总是有一段极小但又不等于零的距离！

当芝诺提出这个问题之后，他断言，步行到冰激凌店买冰激凌是不可能实现的！

而中国几千年前《庄子》在《天下篇》里也指出：一尺之棰，日取一半，万世不竭。意思是说，一尺长的木棍，每天弄断一半，总会有遗留，历经万世也取不完。

庄子

真的走不到或者取不完吗？这明显跟我们生活常识相悖嘛，那让我们把他们转化成数学的语言看看是什么情况。

假设你和商店的距离是1，每一次走剩下路程的一半，那么总共走过的路程可以表示为：

s=1\2+1\4+1\8+1\16+……

把这个数前10项相加，大概是0.999；加总前20项，大概是0.999999，更加接近了，这样，我们不断加下去，确实有无限多个9在后面，那么，这个问题就转化成0.999999……无限多个9，到底是不是等于1？

让我们先来看看1\3.我们知道

0.33333333333……=1\3

现在两边同时乘于3得：

0.33333333333……*3=1\3*3

即0.999999999……=1

对吗？

好像就是那么一回事，如果你还有迷惑，那我们这么来看：

10*0.9999999……=9.9999999……

两边同时减去0.999999……得：

10*0.9999999……-0.9999999……=9

从而有：9*0.9999999……=9

从而0.9999999……=1

证明完毕，如果你觉得证明还不够完美，那就是对的，首先，谁告诉我0.333333……就等于1\3呢；第二种证法中的乘于10是什么意思？

芝诺

是的，数学家们一直在探索，最后直接导致了无穷级数这样的数学概念的诞生，最后提出了柯西定理，从而数学进入了现代分析时代！！