芝诺悖论:永远走不到的冰激凌店

假设有一天我想吃冰激凌,我家离冰激凌店有一段距离,为了显示我的数学水准,我给自己定的走路规则是:我走一半路程之后,马上又走剩下一半路程的一半,如此继续走下去,每一次总是走剩下路程的一半,如此循环下去。

我可能离冰激凌店越来越近,但是,无论我走了多少个一半的路程,我永远到不了冰激凌店,我和冰激凌店之间总是有一段极小但又不等于零的距离!

当芝诺提出这个问题之后,他断言,步行到冰激凌店买冰激凌是不可能实现的!

而中国几千年前《庄子》在《天下篇》里也指出:一尺之棰,日取一半,万世不竭。意思是说,一尺长的木棍,每天弄断一半,总会有遗留,历经万世也取不完。

庄子

真的走不到或者取不完吗?这明显跟我们生活常识相悖嘛,那让我们把他们转化成数学的语言看看是什么情况。

假设你和商店的距离是1,每一次走剩下路程的一半,那么总共走过的路程可以表示为:

s=1\2+1\4+1\8+1\16+……

把这个数前10项相加,大概是0.999;加总前20项,大概是0.999999,更加接近了,这样,我们不断加下去,确实有无限多个9在后面,那么,这个问题就转化成0.999999……无限多个9,到底是不是等于1?

让我们先来看看1\3.我们知道

0.33333333333……=1\3

现在两边同时乘于3得:

0.33333333333……*3=1\3*3

即0.999999999……=1

对吗?

好像就是那么一回事,如果你还有迷惑,那我们这么来看:

10*0.9999999……=9.9999999……

两边同时减去0.999999……得:

10*0.9999999……-0.9999999……=9

从而有:9*0.9999999……=9

从而0.9999999……=1

证明完毕,如果你觉得证明还不够完美,那就是对的,首先,谁告诉我0.333333……就等于1\3呢;第二种证法中的乘于10是什么意思?

芝诺

是的,数学家们一直在探索,最后直接导致了无穷级数这样的数学概念的诞生,最后提出了柯西定理,从而数学进入了现代分析时代!!

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