重庆市南开中学高2021届第8次月考第16题：分式三角函数的最值
上一夜我们探讨了2012年四川卷的第21题，目下带来的是2008年重庆卷的第12题（见操作）。都是些饱经风霜的试题，历久弥新。我在重庆，自然关注重庆要多一点。四大直辖市中，唯独重庆没有自主命题，很遗憾。不过加入全国卷大军，更能看清自己的位置，算是一点安慰。自从引入导数，初等方法求函数的值域几乎淡出高考。然而，这并不意味着值域问题不复存在，去年“八省联考”的第12题就杀了个回马枪，显然南开中学注意到了这个细节。分式三角函数的值域曾在2008年高考的重庆卷中一鸣惊人。据说后来被批成了筛子，专家给出的理由是“看不出有什么合理的背景，纯粹是人为构造的产物”。对此，我不敢苟同。试问高考题有多少包含合理的背景，又有多少不是人为构造的产物？当然，我同意与否无关紧要，重点在于我不是专家。题目干脆利索，没有丝毫的浮笔浪墨，全部信息都潜藏在这个解析式中。这肯定不是函数该有的样子，所以化简解析式不可或缺。一番操作后，瞬间心旷神怡，像这种形式谁还没有玩过三遍五遍。最容易想到的莫过于辅助角公式，转化为三角函数的有界性求解。求导已然成为一种习惯，看到函数就不由自主地想求导。不过，在求导之前先利用周期性与奇偶性缩小区间范围，使得单调性容易讨论。这是一道复合函数的单调性问题，讨论时注意内外层的变化情况（前面多次讨论过）。显然，【法2】不如【法1】来得痛快，此处旨在说明求导可行，未必一贯简单。还记得上一夜我曾提及利用几何意义求解吧，为了不与此处重复，当时刻意挖了个坑。代数问题几何化，几何问题代数化，数形结合，相得益彰。纵观上述诸法，不难看出本题无论是结构还是难度都逊色于高考，所以你应该明白我在说什么了吧。我在说什么？我什么也没说。我只是在想，既然均值不等式可以求最值，那么本题能不能尝试一下呢。如果你那么介意，直接忽略不就好了。放在这里本来就不是让所有人都掌握的，大可不必大动肝火。
