【中考专题】善联想巧转化——将军饮马问题及变形 / 四六文摘

【将军饮马的由来】

传说在古罗马时代，亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？

据说海伦略加思索就解决了它．从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．

将这个问题转化为数学问题就是：如图，点A，B位于直线l的同一侧，在直线l上确定一点P，使得PA+PB最短.

分析：根据波利亚怎样解题的四个步骤，拿到一个题目后，首先理解题意：

未知量是什么？ 确定一点P，使得PA+PB最短；

条件是什么？点A,B位于直线l同侧，点 P是直线l上一点.

其次，拟定方案：

你以前见过它吗？ 没有

你知道一道与它有关的题目吗？有，譬如下题：

如图，点A，B分别位于直线l两侧，在直线l上确定一点P，使得PA+PB最短.

根据两点之间线段最短可得，AB<=PA+PB,当点A，P，B三点共线时，PA+PB最短，此时，PA+PB=AB。所以连接AB，线段AB与直线l的交点即为所求的点P.

如下图：

这里有一道题目和你的题目有关而且以前解过。你能利用它吗？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了有可能应用它，你是否应该引入某个辅助元素？

根据上面的解题过程可以看到，当两点分别位于直线两侧时，根据两点之间线段最短很容易得到点P的位置。结合这一经验，我们不妨这样思考，如果能在直线l的另一侧找到一个定点C，始终保持PB=PC，则问题PA+PB最短就转化为PA+PC最短，再根据两点之间线段最短可得，线段AC与直线l的交点就是所求作的点P。现在我们来看点C的位置如何确定。因为PB=PC，根据到线段两端点的距离相等的点在该线段的垂直平分线上可知，直线l是线段BC的垂直平分线.因此点B关于直线l的对称点即为点C.

根据以上分析可知，作点B关于直线l的对称点C，连接AC。则线段AC与直线l的交点即为所求作的点P.如下图：

当然，对于本题也可以作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，A'B和直线l的交点即为所求作的点P. 线段A'B的长度即为最短距离.

反思：在上面的解题过程中，利用轴对称，将直线同侧两点中的一点对称到另一侧，将同侧两点到直线上一点的距离和最短问题，转化为异侧两点到直线上一点的距离和最短问题。再根据两点之间线段最短使问题得以解决。注意将军饮马问题的重要特征是：两定一动一直线（两个定点：点A、B；一动：点P），动点P所在的直线即为对称轴。这一点在运用中需要牢记。

【将军饮马模型的应用】

将军饮马模型在求线段和最短的问题中应用广泛，凡是轴对称图形，都可以设计将军饮马问题.