以“神舟六号 载人飞船出的数学试题
“神舟六号”载人飞船于2005年10月12日上午9点整在酒泉航天发射场发射升空．由长征运载火箭将飞船送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，A点距地面的高度为h1，飞船飞行五周后进行变轨，进入预定圆轨道，如图所示．在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，于10月17日凌晨在内蒙古草原成功返回．已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R．求：
（1）远地点B距地面的高度h2．
（2）沿着椭圆轨道从A到B的最短时间．（用h1、h2、R、g表示）
试题答案
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分析：（1）根据万有引力提供向心力，
| GMm |
| r2 |
=mr(
| 2π |
| T |
)2，已知周期，求出轨道半径，从而求出高度．
（2）根据开普勒第三定律
| R3 |
| T2 |
=C，求出椭圆轨道的周期．
解答：解：（1）飞船在B点所受的万有引力提供向心力：
| GMm |
| r2 |
=mr(
| 2π |
| T |
)2，
T=
| t |
| n |
所以：r=
| 3 |
|
||
由黄金代换式GM=gR2，r=
| 3 |
|
||
所以：h2=
| 3 |
|
||
-R
故远地点B距地面的高度为．
（2）椭圆轨道的半长轴：R′=
| r+R+h1 |
| 2 |
根据开普勒第三定律
| R′3 |
| T′2 |
=
| r3 |
| T2 |
联立以上几个公式解得：T′=
|
=2π
|
所以沿着椭圆轨道从A到B的时间t′=
| T′ |
| 2 |
=π
|
答：（1）远地点B距地面的高度h2=
| 3 |
|
||
-R．
（2）沿着椭圆轨道从A到B的最短时间π
|
．
点评：解决本题的关键掌握黄金代换式GM=gR2，万有引力提供向心力，
| GMm |
| r2 |
=mr(
| 2π |
| T |
)2，以及开普勒第三定律
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