以数学方法构建音律、构造和弦，是非常独特的

欧洲早期复调音乐以音程思维作依托，而后来的主调音乐则以和弦思维作依托，这又是一个大跨越，这一转换过程历经数百年才得以完成。

文艺复兴时期，英国音乐已发展到以主调体为主，含有大量三和弦结构的音响。到巴罗克时期产生了“和声学”，和声理论才一步步完善起来。

我们现在弹钢琴所用的左手伴奏的旋律并非跟古代那样只是一部单音旋律，而是和弦，其中多为三和弦，即三个各差三度的音组合在一起，这比前面所说的两个音之间的和谐更复杂更丰富了。比如135，1和3之间是三度关系，3和5之间又是三度关系，这三个音的弦长比就构成一组和谐的比例——15：12：10。

如果是123这三个音放一起行不行呢？显然不行，因为这三个音的弦长比是45：40：36。这个比值很显然比上面的比值复杂得多，在声学上，过于复杂的，不和谐的声音就叫做“躁音”。我们实际上在琴上弹一弹就有感觉，135三个音同时按下去很悦耳，有一种波声，而123三个音同时按下去就很刺耳，有点像电影里的恐怖音。明显不一样。

除了135属于三和弦之外，246、357、46i等都属于三和弦。这些就是我们左手所弹的和弦。在手风琴上，就是左手的“贝斯”，它不仅用来打拍子，关键要制造出一种和谐丰富的伴奏。当然，还有七和弦，这里就不讲了。

我们用左手的三和弦与右手的旋律相配合。比如右手这段旋律如果以135几个音为主，我们左手就弹135和弦，如果右手下一段旋律以246为主，左手就弹246和弦。这样听起来，左右两边既不相同，又十分和谐。

当然，这只是最简单的和弦，实际上要复杂得多，也许和弦与复调交替出现，以增加变化，有时甚至还来一段独奏。比如我们在听了大量气势磅礴的多声部和弦后，忽然出来一段悠扬的小提琴独奏，其优美动听无法形容。

和弦为什么好听？就因为这里面有数学的比例关系。老师在给我们讲这些乐理知识时，对于我这个理科生来说，有点儿像听数学课，既有趣又很有规律，很容易接受。但对于非理科的老师和学员来说，这东西就有点儿难，很容易捣乱弄糊涂。所以老师只给我们讲C调，不敢讲其它调，因为各调之间的转换实际上是更复杂的数学转换，怕同学们越搅越糊涂。

古典乐器中每个音的高低取决于弦长比，而这正是我上面所说的“纯律”音程，符合比例的弦长发出高低不同的音，非常和谐。

但这样的纯律乐器在转调时遇到了困难，于是人们发明出了“十二平均律”。

众所周知，巴赫是欧洲的十二平均律大师，又有说法，巴赫的十二平均律实际上来自中国明代的皇族音乐家朱载堉，但也有不同意见。但不管怎么说，朱载堉确实发明了十二平均律，而且确实在巴赫之前。

朱载堉同时也是个数学家（精通音律的专家必须懂数学），要算出十二平均律中每个音的高低关系，即弦长比，或频率比，必须要用到我们在高中所学的等比数列，而且这个比值（即等比数列的公比）是无理数，为12√2（2的12次方根），即1.05946。也就是说：

#C的频率为C的1.05946倍

D的频率为#C的1.05946倍

#D的频率为D的1.05946倍

总之，十二平均律是数学与音乐的完美组合，这种以数学方法构造音律，构造和弦的方式，的确是非常独特的。

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文/闲云若海