博尔维恩积分
学过微积分的读者都知道，求导数有一定之规，但求积分则可能会出现各种神奇的结果。今天介绍博尔维恩积分（）。这是一组积分等式：
看到这里，读者可能会将这个形式推广下去。但令人意外的是，这个系列到此中断。我们得到
它的精确值是一个很奇怪的数：
这个意外的结果是博尔维恩父子：大卫·博尔维恩（David Borwein，1924–）和乔纳森·博尔维恩（Jonathan Borwein，1951–2016）在 2001 年提出来的。大卫·博尔维恩的另一个儿子彼得（Peter B. Borwein，1953－2020）也是一位数学家，可以称为一个数学之家了。比较嘘唏的是两个儿子都先老父而去。
小博尔维恩在数学软件 上“验证”了他们的结果后，跟 的开发人员开了一个玩笑 — 他说 出了一个“bug”。可怜的 计算机代数专家花了三天时间去找 bug，终于意识到这只是一个玩笑。
产生这个结果的原因可以用卷积和傅立叶变换来解释。我们不深入讨论。一般地，考虑如下的积分：
其中 , , , ..., 是实数。那么上式中 的值可以用这些参数来表达。这个表达式的一般描述有点复杂。我们只考虑一个特殊情况。假定我们有
也就是说， 是第一个使得 超过 的那个指标。那么有 , , ⋯, ，及
博尔维恩积分就是这个结果当 时的特例。读者可以自行验证。
还有一个类似的例子更为离奇：
这个系列可以推广到：
但只是对
成立。在此之后的 都不成立。这个结果是澳大利亚科普作家和趣味数学家格雷格·伊根（Greg Egan, 1961−）给出的。见约翰·拜艾兹（John C. Baez, 1961−）的博客。这个例子说明了盲目的推演是危险的。这样的例子还有拉马努金计算的 ，这个数几乎就是一个整数，距离整数只有 的误差。再比如，等式 几乎成立，误差到了小数点后 位。这个结果是博尔维恩兄弟俩的结果。
上面的积分都只涉及正弦函数。下面的例子多了因子 ，结果也会在某一步不再成立：
参考文献
J. Borwein, D. H. Bailey, R. Girgensohn, Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery, 2004, pp. 4-44.
D. Borwein & J.M. Borwein, Some Remarkable Properties of Sinc and Related Integrals, The Ramanujan Journal, March 2001, Volume 5, Issue 1, pp 73–89.
J. C. Baez, Patterns That Eventually Fail, https://johncarlosbaez.wordpress.com/2018/09/20/patterns-that-eventually-fail/ .
H. Schmid, Two curious integrals and a graphic proof, Elem. Math. 69 (2014) 11-17.
D. Borwein and J. M. Borwein, Some Remarkable Properties of Sinc and Related Integrals,The Ramanujan Journal, vol. 5, 2001, pp. 73–89.