傅里叶变换的应用Ⅲ——无穷电阻网络

题：有一平面正方形无穷电阻网络，相邻两节点间的小段电阻均为r，求整个网络上任意两节点间的电阻。

解：为便于说明，不妨记两端点为和，并且以作为原点建立坐标系.的坐标设为。

采用电流分布法。假设点流入电流，点流出电流。记为

记节点的电势为，则待求电阻即为

流入节点的电流可以表示为

定义算符

则式(3)可以改写为

问题关键就是如何求解方程(5)。

这是一个非齐次方程，对应的齐次方程为：

即没有电流从外界流进无穷网络，无穷网络中也没有电流流出。

而无穷网络内部不存在电源，此时显然也不应该有电流。因此，齐次方程的解为

再寻找原方程的特解。原方程即

在时的极限。引入之后会说明。

构造函数F(x,y)，使它在⊗上能展开成二维傅里叶级数，且展开系数恰为，即

代入式(5)得

注意上式中对、的求和都是覆盖全体整数的，因此应当有

上式的变形中利用了欧拉公式。通知要注意到求和是对、进行的，因此将含、的项从求和号中提出来是完全合理的。

将(9)式代入(11)式即得到一个关于的方程。容易解出

在式(8)时我们引入了，从而避免了发散的问题。

对于，由傅里叶逆变换有

由于计算结果应当为实数，式中直接取了实部。

因此方程(5)的特解即

将极限移至积分号内易得

原方程的解是通解与特解之和，故

将(14)(15)二式结果代入式(2)，即可得