初中数学：《矩形的性质》教你两条课本上没有的漂亮性质

矩形是初中数学中一类重要的特殊四边形，除了具备一般平行四边形的一切性质外，还有对角线相等这一核心性质。上述内容是初中教材的“大路货”，人人皆知。本文简要介绍一下课本上矩形没有的两条漂亮性质，特别好用，大题提供思路指向性，小题往往出奇制胜，迅速秒杀。

第一条：矩形内一点，到矩形四个端点的连线段，“斜对着的”两组线段的平方和相等。

这个性质可以用勾股定理知识来证明：过P点向矩形四边作垂线段，分别表示出PA,PB,PC,PD的平方和，然后就可以发现“斜对着的”两组线段的平方和相等，即可证明结论。

这个性质在矩形（或直角三角形）求值就算，动点问题求最值的时候常常灵光乍现，突然杀出，迅速解题。限于篇幅，本性质不举例，且看第二条性质。

因为正方形是特殊的矩形，所以正方形也满足该性质。

第二条：矩形中 的“十字架”（垂直）线段之比，等于矩形的长宽比。

这个性质可以用相似来证明，在此提供2种方法：①作垂线段，证三角形相似，如下图左；②将EF,GH平移到特殊位置，速证相似，如下图右。

因为正方形是特殊的矩形，所以正方形也满足上述性质，特殊的是，在正方形中EF=GH,可以用全等来证明。

举个例子：在矩形中，AB=6,BC=8,将矩形对折，使A与C能重合，求折痕EF的长度。

本题不难，方法很多，在此提高要求，如何利用本文讲的矩形性质，来心算口算这个题呢？读者朋友可以停留10秒，口算本题。

现在简要说说心算思维过程：由AB=6,BC=8，常用勾股数知道对角线AC=10，利用

矩形中 的“十字架”（垂直）线段之比，等于矩形的长宽比，可以知道：EF:10=6:8,然后口算EF=60/8=15：2.就是这么快！站在性质结论技巧的“肩膀”上，可以“秒杀”本题！

意犹未尽，再来一题！在直角三角形△ABC中，AC=4,BC=3,D是A的中点，连接BD,若CE⊥BD,交AB于E,求AE=_________.

本题中出现了“十字架”CE⊥BD,能否使用本文矩形结论呢？我们知道，矩形其实就是两个全等直角三角形拼在一起的，所以可以本题将直角三角形△ABC“扩展”成矩形，从而使用结论解题。

大致思路：将直角三角形△ABC“扩展”成矩形，延长CE出现CH，利用结论计算得CH，然后在直角三角形△AHC中勾股定理算出AH,再结合如图X形相似，利用相似比从而算出AE.

上述解法，给我们的启示：①直角三角形可以“扩展”成矩形解题；②当题中出现“十字架”垂直线段，就要有意识地想到矩形的该性质。③矩形对边平行，常常出现X形相似三角形，为我所用。

当然本题还有其他解法，结合中点D和垂直，甚至可以使用本文第一条性质（“斜对着的”两组线段的平方和相等）利用勾股定理“野蛮暴力计算”来求解，有兴趣的同学不妨一试。

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