漫话勾股定理

“在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方。”我国古代，称直角三角形的两条直角边为“勾和股”，称斜边为“弦”。因而此结论在我国称为“勾股定理”，是我们最熟悉的一个平面几何定理。

早在周朝初年(公元前1100），我国就发现了勾股定理的一个特例：勾三、股四、弦五。在我国古算书《周髀算经》中就已经介绍了勾股定理这一结论，但未予以证明。公元3世纪，三国时吴人赵君卿给出了勾股定理的一个巧妙证明。

在西方，这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，在公元前500余年由古希腊数学家毕达哥拉斯发现。相传，毕式发现这一定理时，曾宰牛百头，广设盛筵以示庆贺，可知对这一定理得重视。

勾股定理提出距今虽已有两千余年，但各种证明方法仍接连涌现，世界各地的人民对其着迷程度依然不减。这一定理证明方法之多是任何其他定理所无法比拟的。据说，现在世界上已找到了证明400多种。

一、勾股定理几种特殊而美妙的证法

(1)赵君卿证法

三国时，吴国的数学家赵君卿提出了以下巧妙的证法：如图1、图2是两个全等的正方形，双方都去掉四个全等带阴影的直角三角形后，两正方形中剩下的部分面积应相等，可知有：

(2)加菲尔德证法

美国第20任总统加菲尔德对数学有着浓厚的兴趣。1876年，当他还是一名众议员的时候，就发现了对勾股定理得一种巧妙的证法，他用两种方法证明同一个梯形的面积：

更多与加菲尔德证明相关的内容，可以继续关注“利用全等直角三角形的摆拼证明勾股定理”

(3)折叠剪纸的证明

将以b为边的正方形(图1)剪成4块，和以a为边的正方形(图2)共5块图形合成一个以c为边的正方形(图3)，它显示出a^2+b^2=c^2.

二、勾股定理与无理数

无理数是无限不循环小数。对于许多无理数，用勾股定理可以将其准确地求出。古希腊数学家用勾股定理作出了一些长度为无理数(与单位长度相比)的精确线段。

三、勾股数组

所谓勾股数组，是由三个正整数组成的集合，这三个数适合以下关系：即其中两个数的平方和，等于第三个数的平方。

是否由一个能产生勾股数组的公式？古希腊人发现，当m是一个自然数时， 则有

当m取大于1得正奇数时，含m的代数式就自然组成了一组勾股数。如当m=15时，有113^2=112^2+15^2，所以15、112、113时一组勾股数组。显然当m取正偶数时，不能组成勾股数组。

柏拉图公式：

这个公式也同样不能给出所有的勾股数组，因m^2+1与m^2-1只差2，所以像7、24、25这样的勾股数就不能给出。

欧几里得公式：

这个公式能产生所有勾股数组。

四、勾股定理的推广

勾股定理有如下关系：a^2+b^2=c^2。即给出一个直角三角形，立于直角边a、b边上的两个正方形面积之和，等于立于斜边c上正方形的面积。

假如我们把立于直角边上和斜边上的正方形，用其他相似图形代替，它们的面积是否也有上述关系呢？

欧几里得在《几何原本》中记述了该定理得一个推广，即“直角三角形斜边上上的一个多边形，其面积等于两直角边上两个与它相似的多边形的面积之和”。