中考隐形圆——定高定角（探照灯）模型

轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。老师在教学中发现，很多学生不能很好地解决这类问题或者说拿到此类题目，感觉无从下手。课本中没有将轨迹问题单列章节来讲，本知识点属于延伸知识。学生对这部分知识没有进行系统性的学习，导致学生对轨迹问题概念模糊、认识不足。但是陕西中考数学压轴题连续6年考查了此类问题，这就对我们提出了更高的要求，来深入研究怎样让学生更好的掌握轨迹思想来解决问题的能力和方法。

定角定高模型（又称为探照灯模型）

在我们探索定角定高模型之前，我们先要了解什么是定角定高模型？

如图，已知直线l外一点P，点P到直线AB的距离为定值h(定高），∠APB的度数为定值（定角），则AB有最小值。又因为像探照灯一样，所以又称为探照灯模型。

定角定高问题解题策略

已知直线l外一点P，点P到直线AB的距离为定值h(定高），∠APB的度数为定值（定角），怎样求线段AB的最小值呢？怎样求△APB面积的最小值呢？

作△APB的外接圆○O，∵∠APB是定值，PD=h是定值（定高），点P的运动轨迹是距直线l距离为h，且平行于l的直线。

当点P运动时，△APB的外接圆（○O）的大小也随之变化，即外接圆的半径随点P的运动而发生变化。从而弦AB的长度也发生变化，它会有一个最小值，由于它的高PD是定值，因此三角形APB的面积就有一个最小值。

猜想：∵PD过圆心时，这个外接圆是最小的，也就是，AB的长最小，从而△APB面积也最小。

理由：

连接OA、OB、OP,过点O作OM⊥AB交AB于点M，

显然，PD≤OP+OM,

当且仅当P、O、M三点共线时，取等号“=”

∵∠APB的角度是定值，而且它是○O的圆周角，因此它所对的圆心角∠AOB的度数也是定值。∴OM与圆的半径有一个固定的关系.

设○O的半径为R，

则OM=Rcos∠AOM=Rcos∠APB

∵PD≤OM+OP

∴h≤Rcos∠APB+R

即Rcos∠APB+R=h,此时R取最小值R=h/cos∠APB+1

此时AB最小值为2Rsin∠APB

总结

1.定角定高三角形面积最小时，该三角形为等腰三角形，其定高是所对底边的垂直平分线，或者说定高过该三角形外接圆圆心。

2.定角可以看作圆周角，因此所对的圆心角不变，往往要通过圆心角所在等腰三角形中解直角三角形（构造直角三角形）。

【基础问题】

（2019陕西定心卷）如图，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD=3，∠BAC=60°，求△ABC面积的最小值。

解析：由题目可知，∠BAC=60°（定角），AB=3,（定高）这是一道很基础的定角定高问题。

作△ABC的外接圆○O，连接OA、OB、OC，

过点O作OM⊥BC交BC于点M，则∠BOC=2∠BAC，

OA=OB=OC,

∵∠BAC=60°，

∴∠BOC=120°

∠OBM=∠OCM=30°，

设OA=OB=OC=r

则OM=0.5r，

BM=（根号3/2）rBC=2BM=根号3r

∵AD≤AO+OE, AD=3;

∴r+0.5r≥3,

解得r≥2,所以S△ABC=1/2BC×AD≥1/2×2根号3×3=3根号3

当且仅当点A、O、E三点共线时，面积最小

△ABC面积的最小值为3倍根号三。