如果我们对数学严刑拷打，会发生什么？
最近在看欧拉的时候，发现了一个挺有意思的地方。大家不要怕，跟着我一路走下去，其实并不难。
无穷级数的求和
这个好玩的东西是有关无穷级数的求和。首先我们来了解两个概念，什么是发散，什么是收敛。发散的意思就是，这个无穷级数是无穷大的，比如所有自然数加起来，必定是没有一个底的黑洞。而收敛，指的是无穷级数会不断向一个具体的数值靠拢，比如1/2+1/4+1/8…一直加下去，它的极限就等于1.
我们给出一个无穷级数，形如“a+a²+a³+…+a^n，其中，n是自然数”。
对于这个无穷级数，是否有一个求和公式呢？
啊，其实是有的，我们只要稍微用一下小学数学知识，加减一下就能得出。
我们令这个无穷级数的和为S= a+a²+a³+…+a^n
然后，我们在等式两边同时乘以a，我们发现，这里a≠0，否则就没意思了，无数个零加在一起还是零。乘以a后，我们会得到下面这个等式：
aS=a²+a³+…+a^（n+1）
我们将这两个等式减一下：
S-aS= a+a²+a³+…+a^n-（a²+a³+…+a^（n+1））
我们会发现一个神奇的地方，等式左边就成了S（1-a），等式右边刚好可以消掉，因为是无穷级数，所以a^n与a^（n+1）是一样的，（关于这点，其实是不严谨的，看下去就知道），消掉之后，我们会得到这个等式：
S（1-a）=a（其中，a不等于1）
同时处以（1-a），得：S=a/（1-a）
这是不是无穷级数的求和通式呢？
好，我们一起来玩一下，当a=1/2的时候，S=1/2+1/4+1/8+…=（1/2）/（1-1/2）=1
当a=1/3的时候，S=1/3+1/9+1/27+…=（1/3）/（1-1/3）=1/2
好，如果a=2呢？
S=2+4+8+…=2/（1-2）=-2
发现问题了吗？
以a=2的无穷级数加起来，直觉上，这必然是一个没有答案的答案，因为这个级数不是收敛的，而是发散的。但是我们用得出来的无穷级数求和公式，竟然得到了一个答案，是-2，无穷大加起来，怎么可能是一个负数呢？
实际上，如果该无穷级数是发散的，那么a^n与a^（n+1）这两项不能消掉，因为是发散的，当n越大的时候，这两项之间的区别也就越大。只有当该无穷级数是收敛的时候，a^n与a^（n+1）才可被视为相等。
话说，当年欧拉对此玩得不亦乐乎，就和我一样，他动手算了很多无穷级数，比如当a=3,4,5,6的时候，通过求和公式算出来都是负数。
这给我的感觉，就像是我们对数学进行严刑拷打，逼问它给出一个答案，最后它不堪折磨，给了一个荒诞可笑又滑稽的答案。
所以，形如“S= a+a²+a³+…+a^n”这类无穷级数的求和公式，是有一定范围的，只能用在收敛的无穷级数上，这样，我们就给a规定了范围，只有当a处于（0,1）之间时，这个S才有意义，否则它就“胡说八道”了。
当我自己在草稿纸上写下“-2”的时候，我的手都在颤抖，我突然发现，我们要对数学温柔一点，不要硬逼着它给一个答案，如果这样，它就算是给出了答案，也不是我们想要的。
数学就像我们的孩子，我们还是要多一点耐心，多一点温柔，在不断的逼问之下，孩子会撒谎，数学会原地爆炸。
三角形数
好，接下来我们看一个三角形数。
什么是三角形数呢？
画个图方便大家理解，就是形如“1,3,6,10,15…”的数列。
现在，我们来求一下三角形数的倒数之和。
S=1+1/3+1/6+1/10+…
等式两边同时乘以1/2，得：
（1/2）S=1/2+1/6+1/12+1/20…
我们发现，1/2=1-1/2,1/6=1/2-1/3,1/12=1/3-1/4,1/20=1/4-1/5…（这里需要用到的定理：若b-a=1，ab是连续的自然数，则1/ab=1/a-1/b，其中a＜b）
我们将这些带入进去，就会得到这样一个公式：
（1/2）S=（1-1/2）+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+（1/4-1/5）+…
我们发现，很多都可以消掉，于是我们得到（1/2）S=1，求得S=2
因此，三角形倒数之和为2
这个玩意儿，是莱布尼茨证明出来的。
原地爆炸的定理
最后，我们再来看欧拉当年证明出来的一个原地爆炸的定理。
自然数平方的倒数和，是多少？
1+1/4+1/9+1/16+…
伯努利家族的人证明了这个无穷级数是收敛的，其最终的结果小于2
欧拉凭借他惊人的心算能力，算出了一个近似值，1.6449
最终他在自己的不懈努力下，得出了一个原地爆炸的答案，即，这个答案是π²/6
那么，问题来了，怎么证明呢？
虽然看起来好像很无厘头啊，其实是能证明的，而且不会很难，我们用欧拉的方式来证明一下。
首先，欧拉引入了一个函数f（x）= 1-（x²/3！）+（x^4/5！）-（x^6/7！）+…，且当x=0时，f（x）=1，然后，我们来对比一下一个泰勒展开式，sinx=x-（x³/3！）+（x^5/5！）-（x^7/7！）+…
我们会发现，只要将泰勒展开式除以x，就能得到欧拉引入的函数。因此，欧拉引入的函数又可以写成f（x）=sinx/x，且x≠0
我们令f（x）=0，由于x是不能等于0的，因此当函数为0时，我们就相当于求sinx=0的。
然后，我们画一张三角函数图，就是y=sinx的图，这个图就是一个在【-1,1】之间不断震荡的波浪。
我们观察一下就发现，f（x）=0的解正好是x=±π，x=±2π，x=±3π…（π的整数倍）
我们再来一个简单的复习，看一个方程A=（x-x1）（x-x2）（x-x3）…如果x1,x2,x3…分别是x的根，那么我们很容易得出来，A=0
然后，我们从：f（x）=sinx=0出发，会得到这样一个函数：f（x）=（1-x/π）（1-x/-π）（1-x/2π）（1-x/-2π）……=0
一个非常简单的定理：（a+b）（a-b）=a²-b²
于是我们得：f（x）=（1-x/π）（1-x/-π）（1-x/2π）（1-x/-2π）…=（1-x²/π²）（1-x²/4π²）（1-x²/9π²）…=0
这个f（x）=0，所以等价于欧拉引入的函数f（x）=1-x²/3！+x^4/5！- x^6/7！+ x^8/9！…=0
将这个f（x）合并同类项，得：1-x²/3！+x^4/5！- x^6/7！+ x^8/9！=1-（1/π²+1/4π²+1/9π²+…）x²+（…）x^4-（…）x^6…
我们主要来看等式左边和右边中，x²前的系数，它们必然是相等的，于是我们得：
-x²/3！=-（1/π²+1/4π²+1/9π²+…）x²
简化（两边同时去掉负号，再除以x²，当然，x≠0）得：
1/3！=1/π²+1/4π²+1/9π²+…
3！=1*2*3=6
于是我们得：1/6=（1+1/4+1/9+…）（1/π²）
答案就这么出来了，两边同时乘以π²，我们就能得出自然数平方倒数和的答案，是为π²的六分之一倍。
当然，欧拉在引入多项式的时候有点不严谨，他根据数学归纳法得出来的这个办法在现代数学家看来有些欠妥当，比如他在算了1,2,3几个数之后，发现都符合，于是他理所当然地认为，这适用于一切。将适用于有限多项式的公式推广为适用于无穷多项式的公式，肯定会遇到巨大的困难。但可能说是欧拉的幸运吧，或者说这位天才的直觉是敏锐的，他的过程不严谨，但结果却是对的。
我仿佛看到了一座监狱中，欧拉左手拿着泰勒展开式，右手拿着sinx的波浪，对着数学死命地抽，并不断逼问：“说！你是谁！快说！”
最终，一个形如（1+1/4+1/9+…）的数学撑不住了，抹着眼泪说：“别打了，我说还不行吗？我是π²/6.”
这里，友情提醒一下欧拉，别打太狠了，否则数学原地爆炸，给你一个负数解，到时候你就该哭了。
我瞄了一眼监狱门外，看到几个人说着、笑着，朝这里走来，仔细看一下，他们是费马、莱布尼茨、高斯、伽罗华……在他们旁边，还有祖冲之、刘徽、贾宪、吴敬……
数学兄弟，保重！
数学：我爱学渣！回来！你这个学渣！
学渣看了一眼数学，问旁边的人：他是谁？
旁边的另一个学渣说：不认识。
与君共勉
2021年8月15日
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