【解题研究】(2021重庆B卷26)旋转变换•对角互补•解直角三角形•胡不归 2024-06-22 02:47:25 2021重庆B卷26 【推理】在等边△ABC中,AB=6,BD⊥AC,垂足为D,点E为AB边上一点,点F为直线BD上一点,连接EF.(1)将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG,连接FG.①如图1,当点E与点B重合,且GF的延长线过点C时,连接DG,求线段DG的长;②如图2,点E不与点A,B重合,GF的延长线交BC边于点H,连接EH,求证:BE+BH BF;(2)如图3,当点E为AB中点时,点M为BE中点,点N在边AC上,且DN=2NC,点F从BD中点Q沿射线QD运动,将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP,连接FP,当NP MP最小时,直接写出△DPN的面积. 试题分析 (1)①本问求线段的长,求线段的长常用有三大工具进行计算:勾股定理、三角函数、相似;本题主要用勾股定理来求解,关键是构造直角三角,然进一步利用勾股定理求解.方法1:如图,过D作DH⊥GC于H,先证明△BGF是等边三角形, CD=3,再证明BF=CF=GF,从而在Rt△BDC中,求出CF ,即得GF,在Rt△CDH中,求出DH=CD·sin30° 和CH=CD·cos30° ,可得GH=GF+FH ,可得DG ; 方法2:过D作DH⊥BG于H,求出DH ,GH ,Rt△GHD中,即可得到DG ; 方法3:过G作GH⊥BD于H,求出GH=3,DH=2 ,Rt△GHD中,即可得到DG ;方法4:连接AG,可证△ABG≌△CBF9(手拉手模型),进一步AG=CF=GF=2 ,∠GAD=90°,再利用勾股定理到DG ; ②本问是对角互补模型,要构造旋转型全等,方式有两种;方法1:过F作FM⊥AB于M,过FH作FN⊥BC于N,证△FME≌△FNH(ASA),所以ME=NH,所于是BE+BH 2BM=2BF·cos30° ; 方法2:延长BE到点M,使EM=BH,证△FME≌△FBH(SAS),所以∠EMF=∠HBF=30°,于是∠EMF=∠MBF=30°,于是BE+BH ; 方法3:延长BH到点M,使MH=BE,证△FBE≌△FMH(SAS),所以∠EBF=∠HMF=30°,于是∠FBM=∠FMB=30°,于是BE+BH ; (2)本问胡不归模型,特殊三角形边的相互转化及相关线段的长计算以M为顶点,MP为一边,作∠PMH=30°,MH交BD于G,过P作PH⊥MH于H, Rt△PMH中,HP MP,NP MP最小即是NP+HP最小,此时N、P、H共线,求得DN=GH=2,MG BM ,BG=BM·cos30° ,可求MH=MG+GH ,GD=BD﹣BG ,于是HP ,从而PN=HN﹣HP=GD﹣HP ,故S△DPN PN·DN . 题目解析 解:(1)①方法1:过D作DH⊥GC于H,如图: ∵线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG,点E与点B重合,且GF的延长线过点C,∴BG=BF,∠FBG=60°,∴△BGF是等边三角形,∴∠BFG=∠DFC=60°,BF=GF,∵等边△ABC,AB=6,BD⊥AC,∴∠DCF=180°﹣∠BDC﹣∠DFC=30°,∠DBC ∠ABC=30°,CD AC AB=3,∴∠BCG=∠ACB﹣∠DCF=30°,∴∠BCG=∠DBC,∴BF=CF,∴GF=CF,Rt△FDC中,CF ,∴GF ,Rt△CDH中,DH=CD·sin30° ,CH=CD·cos30° ,∴FH=CF﹣CH ,∴GH=GF+FH ,Rt△GHD中,DG ;方法2-4略②方法1:过F作FM⊥AB于M,过FH作FN⊥BC于N,则∠EMF=∠FNH=90°,∵∠ABD=∠CBD,∴MF=NF,∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∴∠MFN=120°,∵EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG,∴△EGF是等边三角形,∴∠EFG=∠EGF=∠GEF=60°,∠EFH=120°,∴∠MFN=∠EFH=120°,∴∠MFE=∠HFN,∴△FME≌△FNH(ASA),∴ME=NH,∴BE+BH=2BM=2BF·cos30° ; 方法2-3略(2)以M为顶点,MP为一边,作∠PML=30°,ML交BD于G,过P作PH⊥ML于H,设MP交BD于K,如图: Rt△PMH中,HP MP,∴NP MP最小即是NP+HP最小,此时N、P、H共线,易证四边形GHND是矩形,∴DN=GH,∵等边△ABC中,AB=6,BD⊥AC,∴CD=3,又DN=2NC,∴DN=GH=2,∵等边△ABC中,AB=6,点E为AB中点时,点M为BE中点,∴BM ,BD=AB·sinA=6×sin60° ,Rt△BGM中,MG BM ,BG=BM·cos30° ,∴MH=MG+GH ,GD=BD﹣BG ,Rt△MHP中,HP=MH·tan30° ,∴PN=HN﹣HP=GD﹣HP ,∴S△DPN PN·DN . 解后反思 本题是一道几何综合探究题,涉及知识较多,解题的关键是构造辅助线,通过研析本题,应注意掌握以下规律与方法:1.求线段长的度方法①勾股法;②三角函数法;③相似法;④面积法;⑤等值代换法;2.对角互补模型的转化途径①做垂直构造全等;②延长构造全等;3.特殊三角形各边的转化①30°角直角三角形三边的比为1: :2;②等腰直角三角形三边的比为1:1: ;③底角为30°的等腰三角形三边的比为1:1: ;4.胡不归模型转化方式两定点A、B,动点 P的运动轨迹是一条直线, “PA+k·PB”(k≠1,且k为正数)的最小值问题即为胡不归,通过构造PQ=PB·sinα =k·PB,过定直线上的定点向这条定直线的某一侧(依情况而定)作一个锐角,使其正弦值等于要处理的系数)进行转化. 赞 (0) 相关推荐 山西丨时刻准备着!初中数学压轴选择填空题解析 山西中考作为全国统考的代表省份.几乎每年都出线段的求解,线段求解在初中数学中的意义非常的大,对于平面几何尤其辅助线的灵活应用考察多变,并且平面几何的工具运用需要灵活,山西的线段求解,很多可以利用相似模 ... 省实验中学中考一模几何探究题 要说这道题,比上次的压轴题来说,计算更加复杂一些,但前提是压轴题的阿氏圆模型已经掌握熟练.上次的压轴题,解决时间在5分钟之内,而这道题硬是挨个计算,用的时间多了一倍,可能中间浪费了一些时间,最终判定出 ... 青岛丨中考数学压轴题型知识点——填空压轴考点:求线段长 前言 PREFACE 姜胜昊老师 专注初中数学压轴 定时更新最干货的初中数学压轴题型讲解. 青岛中考数学压轴填空题都是线段的求解,线段求解在全国里面非常的常见,这也是考察学生对于几何综合理解的能力. ... 兔死狗烹,鸟尽弓藏,去掉多余图形,还原问题本质。18重庆B卷26 这题是2018重庆中考B卷的压轴题(上次是A卷的压轴题).没错重庆是分AB卷的,有什么区别?根据网上查阅到的资料和教师朋友提供的情报,两个卷子的难度是一样的(命制的难度标准一样),区别是一个是&quo ... 2021全国甲卷高考作文题目详解:可为与有为 2021全国甲卷高考作文题目详解:可为与有为 《韩非子》卷26守道诗解2禁奸必法权衡死节 题文诗: 尧明去奸,天下无邪;羿不虚发,千金不亡. 邪人不寿,而盗跖止.如此图书,不载宰予, 不举六卿;不著子胥,不明夫差.孙吴略废, 盗跖心伏.主甘服于,玉堂而无,瞋目切齿, 倾取之患;臣垂拱手,城 ... 《韩非子》卷26守道诗解1度信法明守禁公正 <韩非子>卷26守道诗解1度信法明守禁公正 题文诗: 圣王立法,赏足劝善,威足胜暴,备足必完. 治世之臣,功多位尊,力极赏厚,情尽名立. 善生如春,恶死如秋,民劝极力,乐尽真情, 上下相得 ... 中考解析‖旋转变换&胡不归最值---2021重庆中考数学B卷第26题解析 原题再现 思路分析 图文解析 #1 ■ 第(1)问中规中矩,难度不大,整个图形是确定的,求斜线段长一般是构造直角三角形利用勾股定理或三角函数解决. #2 ■ 第(2)问属于求线段的和差关系,构造 ... 【解题研究】(2021广西贵港26)旋转变换·手拉手·全等与相似 2021广西贵港26题 已知在△ABC中,O为BC边的中点,连接AO,将△AOC绕点O顺时针方向旋转(旋转角为钝角),得到△EOF,连接AE,CF. (1)如图1,当∠BAC=90°且AB=AC时,则 ... 2021年重庆B卷第26题解析——“整体反转”出奇招,“反向瓜豆”显神威 2021年重庆B卷第26题解析——“整体反转”出奇招,“反向瓜豆”显神威 中考解析‖顶角互补等腰三角形旋转---2021重庆中考数学A卷第26题解析 原题再现 思路分析 图文解析 #1 ■ 第(1)问以典型的手拉手全等模型为背景,考查角平分线的性质,等腰三角形及三角形函数等知识,解题的关键是发现△CEF为等腰三角形. #2 ■ 第(2)问属由 ... 【真题速递】2021年重庆A卷第26题解析,附名师解析! 今天解析的是2021年重庆A卷最后一题,这是今年中考做到的第一个"头顶头"结构,期待更多的"三大结构"! 这两篇发文有非常详实的介绍,对所谓"三大结构 ...