【解题研究】(2021重庆B卷26)旋转变换•对角互补•解直角三角形•胡不归

2021重庆B卷26

【推理】
在等边△ABC中,AB=6,BD⊥AC,垂足为D,点E为AB边上一点,点F为直线BD上一点,连接EF.
(1)将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG,连接FG.
①如图1,当点E与点B重合,且GF的延长线过点C时,连接DG,求线段DG的长;
②如图2,点E不与点A,B重合,GF的延长线交BC边于点H,连接EH,求证:BE+BH  BF;
(2)如图3,当点E为AB中点时,点M为BE中点,点N在边AC上,且DN=2NC,点F从BD中点Q沿射线QD运动,将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP,连接FP,当NP  MP最小时,直接写出△DPN的面积.

试题分析

(1)①本问求线段的长,求线段的长常用有三大工具进行计算:勾股定理、三角函数、相似;本题主要用勾股定理来求解,关键是构造直角三角,然进一步利用勾股定理求解.
方法1:如图,过D作DH⊥GC于H,先证明△BGF是等边三角形, CD=3,再证明BF=CF=GF,从而在Rt△BDC中,求出CF     ,即得GF,在Rt△CDH中,求出DH=CD·sin30°  和CH=CD·cos30°  ,可得GH=GF+FH  ,可得DG  ;
方法2:过D作DH⊥BG于H,求出DH  ,GH  ,Rt△GHD中,即可得到DG  ;
方法3:过G作GH⊥BD于H,求出GH=3,DH=2  ,Rt△GHD中,即可得到DG  ;
方法4:连接AG,可证△ABG≌△CBF9(手拉手模型),进一步AG=CF=GF=2  ,∠GAD=90°,再利用勾股定理到DG  ;
②本问是对角互补模型,要构造旋转型全等,方式有两种;
方法1:过F作FM⊥AB于M,过FH作FN⊥BC于N,证△FME≌△FNH(ASA),所以ME=NH,所于是BE+BH

2BM=2BF·cos30°  ;

方法2:延长BE到点M,使EM=BH,证△FME≌△FBH(SAS),所以∠EMF=∠HBF=30°,于是∠EMF=∠MBF=30°,于是BE+BH  ;
方法3:延长BH到点M,使MH=BE,证△FBE≌△FMH(SAS),所以∠EBF=∠HMF=30°,于是∠FBM=∠FMB=30°,于是BE+BH  ;
(2)本问胡不归模型,特殊三角形边的相互转化及相关线段的长计算
以M为顶点,MP为一边,作∠PMH=30°,MH交BD于G,过P作PH⊥MH于H, Rt△PMH中,HP  MP,NP  MP最小即是NP+HP最小,此时N、P、H共线,求得DN=GH=2,MG  BM  ,BG=BM·cos30°  ,可求MH=MG+GH  ,GD=BD﹣BG  ,于是HP  ,从而PN=HN﹣HP=GD﹣HP  ,故SDPN  PN·DN  .

题目解析

解:(1)①方法1:过D作DH⊥GC于H,如图:
∵线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG,点E与点B重合,且GF的延长线过点C,
∴BG=BF,∠FBG=60°,
∴△BGF是等边三角形,
∴∠BFG=∠DFC=60°,BF=GF,
∵等边△ABC,AB=6,BD⊥AC,
∴∠DCF=180°﹣∠BDC﹣∠DFC=30°,∠DBC  ∠ABC=30°,CD  AC  AB=3,
∴∠BCG=∠ACB﹣∠DCF=30°,
∴∠BCG=∠DBC,
∴BF=CF,
∴GF=CF,
Rt△FDC中,CF    ,
∴GF  ,
Rt△CDH中,DH=CD·sin30°  ,CH=CD·cos30°  ,
∴FH=CF﹣CH  ,
∴GH=GF+FH  ,
Rt△GHD中,DG  ;
方法2-4略
②方法1:过F作FM⊥AB于M,过FH作FN⊥BC于N,则∠EMF=∠FNH=90°,
∵∠ABD=∠CBD,
∴MF=NF,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°,
∴∠MFN=120°,
∵EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG,
∴△EGF是等边三角形,
∴∠EFG=∠EGF=∠GEF=60°,∠EFH=120°,
∴∠MFN=∠EFH=120°,
∴∠MFE=∠HFN,
∴△FME≌△FNH(ASA),
∴ME=NH,
∴BE+BH=2BM=2BF·cos30°  ;
方法2-3略
(2)以M为顶点,MP为一边,作∠PML=30°,ML交BD于G,过P作PH⊥ML于H,设MP交BD于K,如图:
Rt△PMH中,HP  MP,
∴NP  MP最小即是NP+HP最小,此时N、P、H共线,
易证四边形GHND是矩形,
∴DN=GH,
∵等边△ABC中,AB=6,BD⊥AC,
∴CD=3,
又DN=2NC,
∴DN=GH=2,
∵等边△ABC中,AB=6,点E为AB中点时,点M为BE中点,
∴BM  ,BD=AB·sinA=6×sin60°  ,
Rt△BGM中,MG  BM  ,BG=BM·cos30°  ,
∴MH=MG+GH  ,GD=BD﹣BG  ,
Rt△MHP中,HP=MH·tan30°  ,
∴PN=HN﹣HP=GD﹣HP  ,
∴SDPN  PN·DN  .

解后反思

本题是一道几何综合探究题,涉及知识较多,解题的关键是构造辅助线,通过研析本题,应注意掌握以下规律与方法:
1.求线段长的度方法
①勾股法;②三角函数法;③相似法;④面积法;⑤等值代换法;
2.对角互补模型的转化途径
①做垂直构造全等;②延长构造全等;
3.特殊三角形各边的转化
①30°角直角三角形三边的比为1:  :2;
②等腰直角三角形三边的比为1:1:  ;
③底角为30°的等腰三角形三边的比为1:1:  ;
4.胡不归模型转化方式
两定点A、B,动点 P的运动轨迹是一条直线, “PA+k·PB”(k≠1,且k为正数)的最小值问题即为胡不归,通过构造PQ=PB·sinα =k·PB,过定直线上的定点向这条定直线的某一侧(依情况而定)作一个锐角,使其正弦值等于要处理的系数)进行转化.
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