《九章算術》之粟米法初等問題詳解
《九章算術》之粟米法初等問題詳解
上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112
何世強 HoSai Keung
提要：《九章算術‧卷二》為〈粟米〉，此章主要談及粟米與其他穀物作等值之轉換，此卷之問皆屬初等之比例數。
關鍵詞：糲米、粺米、糳米、粟米
《九章算術》九卷，共九章，乃最早之古代數學著作之一，其作者無考。分二百四十六題二百零二術，乃漢代之重要數學著作。此書應經歷代多家之增補及修訂，而成為今之傳世本。著名之注者為晉‧劉徽及唐‧李淳風。
筆者所採用者乃清‧四庫全書本。清‧乾隆三十八年﹝公元1773年﹞編纂四庫全書，《九章算術》亦為其一。其提要曰：
《九章算術》九卷，蓋《周禮》保氏之遺法，不知何人所傳。《永樂大典》引《古今事通》曰：王孝通言周公制禮，有《九章》之名，其理幽而微，其形秘而約，張蒼刪補殘缺，校其條目，頗與古術不同云云。
舊本有注，題曰劉徽所作。考《晉書》稱魏‧景元四年，劉徽注《九章》，然注中所云晉武庫銅斛，則徽入晉之後，又有增損矣。
又有注釋，題曰李淳風所作。考《唐書》稱淳風等奉詔注《九章算術》，為《算經十書》之首。國子監置算學生三十人，習《九章》及《海島算經》，共限三歲，蓋即是時作也。…
景元四年合公元 263 年。其後清‧李潢譔《九章算術細草圖說》，對研究《九章》者，必有所啟發者也。
《九章算術‧卷二》為〈粟米〉，此章主要談及粟米與其他穀物作等值之轉換，所有之問皆屬初等之比例數，非常容易明白。《九章算術‧卷二》〈粟米〉章曰：
粟米以御交質變易。
“交質”，古人互相以物品作抵押也，若以農作物為質，其值須等，故有《九章》“粟米”之率。
《九章算術》李籍音義曰：
粟者，禾之未舂；米者，穀實之無殼。
其意指若以粟米換其他穀物，即以未舂之穀易他穀，則可依本章所提出之“率”而為之。“御”，有統率治理之意；“交質變易”，有交換抵押或交易轉換之意。
依《九章算術》李籍音義，粟米有另一定義：
粟者，米之率也，諸米不等，以粟為率，故曰“粟米”。
今以粟米為 50 為標準之“率”，他穀之轉換率如下：
粟率五十，糲米三十，稗米二十七，糳米二十四，御米二十一，
小䵂十三半，大䵂五十四，糲飯七十五，稗飯五十四，糳飯四十八，
御飯四十二，菽、荅、麻、麥各四十五，稻六十，豉六十三，
飧九十，熟菽一百三半，櫱一百七十五。
“今有”術曰：以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一。
其意指粟米率五十，則可得糲米三十，或粺米二十七，或糳米二十四，其餘類推。注意以“粟率五十”為準則，以上之轉換準則劉徽注文稱之為“都術”，而所涉及之數是為“今有”，即“今有”之率，相信亦即《九章算術》所云之轉換率。清校官案曰：
“今有”，即下文稱“所有率”是也。
筆者認為應包括“所求率”。“所有率”與“所求率”見以下各題。
至於以上之轉換率始於何年代，注釋諸家皆未提及，可能始於春秋戰國，但漢以後未必如此。
以下為《九章算術‧卷二》相關之問﹝以下之算法皆採用筆者所謂之“約簡率”或“整數率”，若無此二率，則用原率或原法﹞：
(1)
今有粟一斗，欲為糲米。問：得幾何？
答曰：為糲米六升。
術曰：以粟求糲米，三之，五而一。
解：
粟，一年生草本植物，其實為圓形或橢圓形顆粒。北方通稱為“穀”，去殼後稱“小米”。《說文》曰：“粟，嘉穀實也。”《九章算術》之粟可釋作未經脫殼之穀﹝見前﹞。
糲米指粗糙之米，又指脫殼後磨碾不精之米。《韓詩外傳》卷二曰：
曾子褐衣緼緒，未嘗完也；糲米之食，未嘗飽也。
故可知糲米者，窮苦人家之粗食也。
《說文》曰：
䊪：粟重一䄷，為十六斗太半斗，舂為米一斛曰䊪。從米萬聲。
䊪，同糲，粵音“例”，陽去聲。䄷，同石，音擔，重量單位，即一百二十斤。
《九章算術》李籍音義曰：
﹝糲﹞，盧達切，麤也。凡粟五斗，得糲米三斗。故粟率五十，而糲率三十。
麤，同粗。故糲米者，粗米之屬也。
題意指今有粟一斗，一斗即十升，欲換為糲米，問可得糲米多少。
本題可以以比例法解之，比例法乃今名，清代稱之為“四率法”。
根據已知條件，粟率五十，則可得糲米三十﹝見前﹞。可列成以下之比例表：
|
粟之變易 |
粟 |
糲米 |
|
率 |
所有率 |
所求率 |
|
原法 |
50 |
30 |
|
約簡率 |
5 |
3 |
|
粟量及變易物量 |
a |
x |
50：30 可約簡為5：3，是為約簡率，以此率作計算。若粟量為 a 單位，而所得之糲米為 x 單位，依比例算法即可知：
x =
，若 a = 10﹝十升即一斗﹞，即 x =
= 6﹝升﹞。
“三之，五而一。”指乘以 3 及除以 5。
李淳風等按曰：
淳風等按：都術。以所求率乘所有數，以所有率為法。此術以粟求米，故粟為所有數。三是米率，故三為所求率。五為粟率，故五為所有率。粟率五十，米率三十，退位求之，故惟云三、五也。
已知粟數而求糲米數乃“都術”之一種。50 為所有率，30 為糲米率，此二率必須為已知，而以所有率為“法”，“法”即除數。50：30 可約簡為5：3，是為“退位”。
答：為糲米 6 升。
(2)
今有粟二斗一升，欲為稗米。問：得幾何？
答曰：為稗米一斗一升五十分升之十七。
術曰：以粟求稗米，二十七之，五十而一。
解：
稗，細米也。《說文》曰：
稗：毇也。從米卑聲。
毇與粲有關，《說文》又曰：
粲：稻重一䄷，為粟二十斗，為米十斗，曰毇；為米六斗太半斗，曰粲。從米𣦼聲。
《九章算術‧卷二》無提及毇米。《九章算術》李籍音義曰：
﹝稗﹞，精於糲也。凡粟五斗，得稗米二斗七升，故粟率五十，而稗率二十七。《詩》曰：“彼疏斯稗。”鄭康成注云：米之率，糲十、稗九、糳八、御七。
《詩經·大雅·召旻》曰：
維昔之富，不如時，維今之疚，不如茲。彼疏斯稗，胡不自替，職兄﹝同怳﹞斯引。
本題根據已知條件，粟率五十，則可得稗米二十七﹝見前﹞。可列成以下之比例表：
|
粟之變易 |
粟 |
稗米 |
|
率 |
所有率 |
所求率 |
|
原法 |
50 |
27 |
|
約簡率 |
50 |
27 |
|
粟量及變易物量 |
a |
x |
50：27 不可約簡，故無約簡率，仍用原法。化粟二斗一升為 21 升，依比例算法：
x =
，若 a = 21﹝升﹞，即 x =
=
= 11
﹝升﹞。
11
升 即 1斗1
升。
“二十七之，五十而一。”指乘以 27 及除以 50。
答：為稗米1斗1
升。
(3)
今有粟四斗五升，欲為糳米。問：得幾何？
答曰：為糳米二斗一升五分升之三。
術曰：以粟求糳米，十二之，二十五而一。
解：
糳米，精細米也，見《廣韻‧作》。《說文解字‧毇部》：糳：䊪米一斛舂為九斗曰糳。
糳之讀音，《集韻》作“卽各”切，音作，入聲，與今之粵音相近。又作“租毒”切，音傶。
清校官案曰：
今考“鑿”、“糳”古多通用。
《九章算術》李籍音義曰：
音作，精於粺也。凡粟五斗，得糳米二斗四升。故粟率五十，而糳率二十四。《春秋左氏》傳曰：粢食不糳，俗作“鑿”。
《左傳·桓公二年》曰：
大羹不致，粢食不鑿，昭其儉也。
孔穎達疏：“粢食不鑿，謂以黍、稷為飯，不使細也。”
不食精磨之糳米，只食粢食。粢食，古代祭祀時用黍、稷所作之飯食曰粢食。粢食比糳米較粗，以顯示其節儉之德也。“鑿”同“糳”。
根據已知條件，粟率五十，則可得糳米二十四﹝見前﹞。可列成以下之比例表：
|
粟之變易 |
粟 |
糳米 |
|
率 |
所有率 |
所求率 |
|
原法 |
50 |
24 |
|
約簡率 |
25 |
12 |
|
粟量及變易物量 |
a |
x |
50：24 可約簡為25：12，是為約簡率。依比例算法：
x =
，若 a = 45﹝升﹞，即 x =
=
= 21
﹝升﹞。
21
升 即 2斗1
升。
“十二之，二十五而一。”指乘以 12 及除以 25。
答：為糳米2斗1
升。
(4)
今有粟七斗九升，欲為御米。問：得幾何？
答曰：為御米三斗三升五十分升之九。
術曰：以粟求御米，二十一之，五十而一。
解：
御米，簡稱為“御”，供宮廷食用之米，品質較佳。西漢時已有官員負責舂御米，以供宮廷之食用。《後漢書‧百官志三》曰：
導官令一人，六百石。﹝注曰：主舂御米，及作乾糒﹞。
西漢導官令，官職名，一人，下有丞一人。掌舂御米，東漢亦置。導，擇也，擇米令精也。附帶一提，“乾糒”，乾糧也。注意“石”音擔。
又北魏‧酈道元 《水經注‧江水一》曰：
縣北有稻田，出御米也。
故可知古時已有專為宮廷提供食用之米之稻田。
又清校官案曰：
《詩‧大雅》鄭箋云：米之率，糲十、稗九、糳八、御七。疏云：《九章‧粟米》之法，粟率五十，糲米三十，稗二十七，鑿二十四，御二十一。言粟五升為糲米三升，已下則米漸細，故數益少。
“御”，“御米”也。鄭玄注以糲為十，若化為稗、糳、御，則分別只得糲之九、八及七。細磨之米其數越少，至御，因其為宮廷食用之米，故於諸米率中，其數最少。
《九章算術》李籍音義曰：
﹝御﹞，精於糳也，供王膳之米也。
根據已知條件，粟率五十，則可得御米二十一﹝見前﹞。可列成以下之比例表：
|
粟之變易 |
粟 |
御米 |
|
率 |
所有率 |
所求率 |
|
原法 |
50 |
21 |
|
約簡率 |
50 |
21 |
|
粟量及變易物量 |
a |
x |
本題無約簡率，仍用原法。七斗九升可化為 79 升，依比例算法：
x =
，若 a = 79﹝升﹞，即 x =
=
= 33
﹝升﹞。
33
升 即 3斗3
升。
“二十一之，五十而一。”指乘以 21 及除以 50。
答：為御米3斗3
升。
(5)
今有粟一斗，欲為小䵂。問：得幾何？
答曰：為小䵂二升一十分升之七。
術曰：以粟求小䵂，二十七之，百而一。
解：
小䵂，《說文》言䵂為“麥覈屑”也，十斤为三斗。“覈”即“核”。
《廣雅》曰：䵂，糏也。至於讀音，《廣韻》作“徒曆”切，《集韻》作“亭曆”切。
《九章算術》李籍音義曰：
音“敵”，麥屑也。細曰小䵂，麤曰大䵂。
然有人認為《九章》之小䵂、《說文》所謂“麪”也。《九章》之大䵂、《說文》所謂“麩”及“䵀”也。麪，麥末也；從麥丏聲。見《說文》。《說文》又曰：
麩：小麥屑皮也。從麥夫聲。䵀：小麥屑之核。從麥𧴪聲。
根據已知條件，粟率五十，則可得稗米二十七﹝見前﹞。可列成以下之比例表：
|
粟之變易 |
粟 |
小䵂 |
|
率 |
所有率 |
所求率 |
|
原法 |
50 |
13 |
|
整數率 |
100 |
27 |
|
粟量及變易物量 |
a |
x |
為避免小數，將原法數乘以 2，故本題之整數率為 100：27。依比例算法：
x =
，若 a = 10﹝升﹞，即 x =
=
= 2
﹝升﹞。
“二十七之，五十而一。”指乘以 27 及除以 50。
答：為小䵂 2
升。
(6)
今有粟九斗八升，欲為大䵂。問：得幾何？
答曰：為大䵂一十斗五升二十五分升之二十一。
術曰：以粟求大䵂，二十七之，二十五而一。
解：
有關大䵂，可參閱前題。
根據已知條件，粟率五十，則可得大䵂五十四﹝見前﹞。可列成以下之比例表：
|
粟之變易 |
粟 |
小䵂 |
|
率 |
所有率 |
所求率 |
|
原法 |
50 |
54 |
|
約簡率 |
25 |
27 |
|
粟量及變易物量 |
a |
x |
50：54 可約簡為25：27，是為約簡率。又九斗八升可化為 98 升。依比例算法：
x =
，若 a = 98﹝升﹞，即 x =
=
= 105
﹝升﹞。
105
升 即 10 斗 5
升
“二十七之，二十五而一。”指乘以 27 及除以 25。
答：為小䵂 2
升。