每日一题326：立体体积的多种不同计算思路与方法典型题分析

练习题

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习326 ：计算由球面和锥面所围立体的体积.

先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！

【注1】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！

练习参考解答

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习326 ：计算由球面和锥面所围立体的体积.

【参考答案】 ：【思路一】球坐标计算方法：由围成立体的曲面方程结构和所描述的图形特征，考虑积分区域的球坐标变量描述. 取球坐标变换为

则球坐标变量的取值范围为

故由三重积分的球坐标计算公式，得

【思路二】柱坐标计算方法：由于用处置与 轴的平面截取的截面区域统一为圆域，并且立体区域为简单的型区域，故可以考虑三重积分的柱坐标计算方法. 并且取柱坐标变换为

则柱坐标变量的取值范围为

故由三重积分的柱坐标计算公式，得

【思路三】二重积分计算方法：由于立体区域为简单的 型区域，故立体的体积可以用二重积分描述. 联立方程组

得立体区域在面上的投影区域为

根据投影区域的图形特征（圆域），将其转换为极坐标变量描述，并且可描述

于是由二重积分的极坐标计算方法，得

【思路四】定积分计算方法：积分区域分为两个部分，上面的球缺，下面椎体，分割点为. 上下两部分用平行于轴的平面截，都有统一的截面区域描述形式，并且都为圆域，其截面面积分别为：上面部分截面的面积函数为

下面部分节目的面积函数为

所以由已知截面面积计算立体体积的计算公式，得

【注】 ：由于立体区域为简单 型区域，也是截面区域为圆域的立体区域，并且被积函数简单为1，因此三重积分的计算也可以采用直角坐标“先一后二”的投影法（后的二重积分可以用直角坐标方法，也可以用极坐标法）；或“先二后一”的方法来计算.