如何理解二重积分的计算

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每年都要给学生讲二重积分，但有多少学生真正理解了二重积分的概念和计算方式呢？二重积分的定义是下面和式的极限。求极限时，积分区域的分块不是一个简单的程序，当其中的每一块的直径都是无穷小时，意味着每一小块都缩成一点，此时每一小块中任选的一点几乎就是积分区域D中的任一点！即积分区域中每一点对应的函数值都要被计算！大家在计算二重积分时要牢记这一点。

为了保证积分区域中每一点的函数值都被计算，我们必须对积分区域进行“地毯式搜索”。

几何意义（曲顶柱体的体积）：

下面谈谈具体如何“搜索”

一、直角坐标系下的搜索方式

X----型：

图中红线是穿过区域的动线（与边界交点不超过两个），先找区域内红线上的点（即所有人站成一排先搜索脚下的“点”），之后红线由左至右扫过积分区域（大家手拉手搜遍地毯），如此这般可保证每一点都不被遗漏。

积分次序也是按这个顺序写

Y----型：

换个方向考虑，搜索方法完全一样

积分次序为：

二、极坐标下的搜索方式

了解什么是极坐标是理解以下内容的前提条件。

极坐标下如何看一个点P？从极点O引出射线到点P,再测量点P到极点O的距离和射线与极轴的夹角，于是就得到极坐标系下点P的坐标。

极坐标系下的积分区域如何分割成小块区域呢？按极坐标的思维就是通过画圆和作射线进行分割。

这种思维特点也决定了极坐标系下的二重积分计算时的两种“搜索”方式。

射线----型：视积分区域夹在两条射线之间

首先在两条射线之间任意画一条射线（下图红线）穿过积分区域（与边界交点不超过两点），搜索区域内红线上的点，然后让红线按逆时针方向旋转扫遍整个区域，不放过任何一个点！

圆弧---型：视积分区域在两个圆弧之间

首先在两个圆弧的半径之间任取一个值作为半径，以极点为圆心画圆，对落在区域内的那一段弧上的点先行搜索，之后将该动态圆弧扫遍积分区域。

实例：交换以下积分次序