是时候聊聊幼儿数学思维启蒙这件事了：从“刷”玩具到'刷'题，你的“陪”商在线么？
无论你喜不喜欢数学这个词，本质这都是。用数学的方式观点思考问题和解决问题的能力。我倾向将逻辑思维这些听起来玄乎的思维都当做数学思维的一个部分，所以这一系列针对学龄前儿童的文章，我叫做数学思维启蒙。
前几天带主人公ET（刚五岁）去坐小火车，我在闲聊，这小火车到底从瑞士采购了几辆呀？ET立马提出他的思路：你只需要看一辆小火车环园多长时间，下一辆小火车多久到达就可以了。我有点惊到，继续问：那么环园一周需要20分钟，下一辆小火车需要5分钟间隔，那么一共有几辆小火车呢？ET不假思索回答：四辆。
惊到我的并不是20/5=4的运算，而是把一个问题化解为一道有两个假设条件的数学题，并成功拆解为简单运算的完整思维过程。
这个思维，我称为数学思维。
原本数学思维这个话题，迟迟不能动笔，很惭愧的说，因这件事情我没有全程主导，加上针对学龄前儿童数学思维启蒙，东西方都在探索，尚没有行之有效，实践复制性很强的理论框架指导。这里，我会尽量分享在从2岁半到现在5岁的两年多的时间里，我们对于数学思维的探索。
本文分五个部分：
01 目标：探究K12中的数学认知
02 刷玩具：初期思维和专注力培养
03 刷题：数学思维启蒙
04 进阶：奥数思维启蒙
05 你的“陪”商在线么？：有目的高效的陪伴
01
目标
探究K12中的数学认知
学习好的孩子总是喜欢有明确目标感的，到底学龄前儿童的数学认知可以达到什么水平？为了回答这个问题，我研究了我国教育部对于3-6岁学龄前儿童要达到数学认知能力的目标：
又研究了NCTM（美国数学教师协会）在2010年制定的CCSS新标准的体系，这个被称为Common Core State Standards（美国跨州共同核心课程标准）的课程，是针对全美K12教育中标准化的问题而设置的，其实也并没有对Grade K提出很清晰的目标：
一圈下来，发现在学龄前幼儿教育标准化的问题上，即使在美国，也未能达成一致。
幼儿注意力保持能力较弱的特点，导致了其在长时间枯燥的测试中，自身水平波动较大，从而影响了整个测试的可靠性与有效性。这就是所谓“孩子年龄越小，越难获得有效的分数”。这也给教育标准化向下延伸造成了很大的困难。
可以看到在我国，学龄前的数学认知，仅占整个幼儿学习发展关注点中的1/11，导致在幼儿园的学习，尤其是传统幼儿园，甚至以英语为特点的私立幼儿园中，并没有明确的启蒙目标，大部分情况是教多少算多少，反正也无法衡量，家长也不太在意。这其实是错过了孩子特别好的思维雏形形成的黄金期。
于是如何提升有效注意力保持时间（专注力），设定合适的目标并具备达成目标的能力，是我认为幼儿数学启蒙中非常重要的部分。好奇-探索-猜想-验证-反思-应用，而整个过程，需要强大的专注力和兴趣来驱动。
在我的探索中，这一过程，是通过“刷”玩具和“刷”题来逐步往前走的。
02
“刷”玩具
初期思维和专注力培养
“刷”这个字在我这算不上贬义，但我挺喜欢。一万小时定律也不是白来的。这其中付出的一万小时，我称为“刷”。
乐高请参考之前的帖子：关于乐高入坑，看这一篇就够了！被乐高宠坏的小车迷：标准颗粒底限年龄四岁半？我们完成的是科技次旗舰！
专注力
根据乐高标注的年龄和零件数量递进，逐渐过渡到可以N个小时的持续专注力；专注来自于爱好和兴趣，来自目标结果的吸引，利用好这一特点，不去打扰，帮助孩子逐步培养可以专注于一件事情的能力。ET痴迷乐高的时候是可以一整天不吃不喝一直在拼的。
空间思维
看图由孩子负责，如实在因为手部的力度和精细动作发育未达标，我们可以帮助孩子完成这一步骤，但是我会让他告诉我，怎么拼，我只做他的一双手。看图能力也在这个过程中快速提升，可以由10页的说明书过度到800页，被遮挡、上下、分层、前后左右各种空间思维在这个过程中逐渐形成。10页说明书时每一步都拆解的清清楚楚，但是到了高阶说明书时，中间会过度掉不少重复的过程，设计者会认为在这个阶段的玩家已经具备跳跃基本步骤的能力了。
精细动作
在合适的时间开启小颗粒的乐高之旅，三岁多的时候你会发现孩子做不了八缸气缸，在一些细小零件的掌握上很难对准，勉强对准了也无法按紧，手部力量和精细动作显著不足。但是当数月之后第二轮，这一能力和技巧早已经在不断的磨练中熟练掌握，八缸气缸不需要任何帮助就完美完成。
对称思维
乐高科技系列多是交通工具的造型，就必然存在对称，大型set的对称是可以引导孩子检查错误的一种思维方式。在做下图喷气式飞机时，左侧面有一个步骤怎么拼都不对，往回检查了N个步骤也发现不了原因，于是和孩子一起孩子看一下右侧面是如何拼的，两边是否对称，有哪些地方是应该对称但是没有对称的，通过一步步引导，在他的心中种下了“对称”的种子。
分类思维
所有乐高的玩家都会为收纳发愁，尤其到了上万零件规模的时候，这便是引入分类思维的最好时机了。通过启发孩子从初步分类-发现问题-改进，来逐步形成孩子自己的分类思维方式。
雪地探险车这个set就是一个典型例子，所有零件按照大类封装，这是第一次我们遇到没有包装袋数字顺序的set，打开盒子的一刹那是倒吸一口冷气的。但毕竟有了前面分件的基础能力，和ET一起拆开所有的袋子，根据大小、颜色、种类分到多个盒子中，在这个过程中，已经可以以ET的想法为主导，并在过程中和他讨论，并最终按照达成的一致意见调整分件方式。
而模块化思维，留到后面在编程和机器人再去提了。
Kumon一直是我心中TOP级思维开发的玩具，之所以列为TOP2，因为Kumon的教具在年龄范围上针对的是2-6岁，不如乐高年龄跨度大，种类多，持续开发能力强。
下图是我一直推崇，ET最爱的Kumon拼图，购买自日本亚马逊。2岁多可以开始起步，3个月通关234pc的Step7。
看看Kumon四五六七段的图案，家有男孩的妈妈就知道这是任何一个男孩都无法抵挡的诱惑：各种车、挖掘机、消防车、高铁等。这种强烈的兴趣牵引和成就感导向，随着i+1这样小步小步的进阶，很快就可以通关。
但是那一段时间对拼图太着魔，导致影响了户外运动的时间，只能果断挂闲鱼了。过不久看他心心念念，又从日亚全部给买回来
（当妈不易呐！）。真正魂牵梦萦的是小男生的那辆车。
拼图的说明书中我又有了新发现，看右边这张图：
记载了Kumon拼图一个统计结果，不同年龄的孩子在完成一幅拼图时的熟练度曲线。3岁到7岁的孩子，在第一次玩70片这幅拼图的时候所需要的时间有巨大的差异，但当他们玩到第五次的时候，结果已经都落在了15-25分钟的区间内（从我的经验来看这张图的时间非常保守）。但它说明的是，只要经过多几次的训练，3岁和7岁的孩子其实表现的差异会非常小。也就是说，这不像体能有年龄天生的瓶颈和天花板，而智力和思维逻辑发育是可以通过多几次的尝试而迅速提升的。这恐怕也是公文公将数学思维教育下延到幼儿阶段的一个原因吧。
说个题外话，日本拼图质量真是好到炸！经过和国产拼图和德国原产睿思拼图（德国亚马逊购买）的对比，包括屡次在欧洲出差逛商场，我竟然找不到质量更好图案更吸引人的拼图让ET继续进阶了。
心心念念的睿思拼图一打开塑料袋，簌簌地往下掉蓝色的纸粉，至于中国的拼图。。。据说纸张都是国外的再生纸进口。但很遗憾，Kumon因其年龄的上限，和乐高的推荐度上还是有很大的距离。
公文式教育是一整套的教学方法和理念，源自一位日本的高中数学老师：公文 公。
当时，由于公文先生的太太不满意其正在就读小学二年级的长子（公文 毅先生）的数学成绩，于是当公文先生细看儿子的情况后，开始对中学、小学时必须掌握的数学内容进行了整理，经过多次尝试后，针对性地编写了一套有助儿子依靠自身能力「自学自习」的数学教材，好让他能顺利地学好高中数学，而这就是现今公文式教材的雏型。
整套公文式教材将学习的重点放在培养孩子的计算能力上，当他们建立好稳固的基础后，便可以尽可能地超越学年学习，以最短时间学好高中数学为目标。
作为一位高中的数学老师，公文先生确信，一旦儿子拥有足够的基础运算能力，将有助发展其数学的应用能力。公文 毅自1954年二月起，依照其父亲公文先生所编制的教材，从两位数加法开始循序渐进地学习，每天自学30分钟左右。经过四年的培养，当他升入小学六年级时，已能解答到大学预科的微积分了。
公文先生从儿子的身上体会到，能够取得这样的成果，其关键在于编写教材的时候，不是以施教者的立场而是以学习者的立场为出发点，不拘泥于孩子所在的学年，而是根据孩子的实际能力，从简单的地方开始，在保证孩子轻松学习的状态下一点一滴地稳步学习到高中甚至大学的内容。
这是另外一套Kumon的立体方块的玩具，从早期手机渣图，就能看出质量，原木无漆的外包装盒，净色的方块，极为高档。这套玩具标注的年龄是3岁起，大约可以提前半年也就是2岁半左右开始尝试，这一套配齐了35张图卡，从平面到立体，从简单到复杂，并且到最后的立体图卡中，已经有了立体组合图形在不同视角的理解。基本上一套玩下来，空间思维的基础模型就有了，还有多视角，被遮挡等思维模式的雏形，活脱脱是个立体几何的启蒙版本！
这样踏进Kumon的深坑中不可自拔，把日本亚马逊几乎所有的Kumon玩具全部买了回来。
Kumon七巧板（原木质，质量极好）
好玩的Kumon皮筋玩具，分19和81两个底板难度，有基础的形状和抽象图形想象力
Kumon玩具中TOP2推荐的Tube，质量绝好，还有扩展件可以单独购买，涉及到轨迹、离心力、向心力、速度等各类思维
2018年的新款，彩色的积木拼图，公文式玩具非常注重图形思维的培养。并通过各种鲜艳的颜色，完成图形向形象化思维的转变。
关注公众号，后台分别回复：
拼图、立体方块、皮筋、七巧板，获取购买链接
03
“刷”题
数学思维启蒙
看到这里的小伙伴，可能已经不排斥“刷”这个词了，但多少对“刷题”有点膈应，心里存在着又敬畏又排斥的情绪。
题是题，题非题，还是不完全相同的。针对学龄前幼儿的题，更多的是全方位数学思维能力的启蒙培养，通过生动有趣的图画和游戏，逐步建立孩子多路径思维。
每天1-2页的刷题我称为“作业”，本质是为了培养习惯：每天五分钟，三年1000天。
刷过的三大儿童思维训练题
ET开始进入“刷”题是已经过了3岁了，在一个Kumon玩腻了，又尚未开启乐高小颗粒的空窗期误打误撞进入的。每一个老母亲都是在痛苦中不断成长
。一年的时间里刷了大约40本书，分别是：
1、儿童数学思维训练课程创世人的何秋光（3-7岁）若干本，主要分了两大体系，包括了
儿童数学思维训练游戏
儿童数学智力潜能开发
2、日本公文式教育思维训练（3-7岁）若干本，全系列国内已引入56本，包括了
基础技能系列16本：
思维训练游戏：创造力、辨别力、想象力和逻辑力
2-3岁：连线书、迷宫书、色彩书、连线书
3-4岁：迷宫书、色彩书、剪纸书、绘画书
数字书4本
我的第一本英语书9本
入园准备5本
益智手工12本
其他系列6本
3、日本千叶大学教授多湖辉的新头脑开发丛书若干本（3-7岁），包含了：
5-6岁：走迷宫、智慧七巧板、数的训练、手工乐园、暑期训练、加法启蒙、时间启蒙
4-5岁：迷宫、学学画画、迷宫、加法、剪纸游戏、推理、智力游戏
2-3岁：手工入门、数的训练、贴纸、走迷宫、涂色训练、智力游戏
4岁：英语、智慧七巧板、自信小画家、贴纸、手工乐园、暑期训练、加法启蒙
三套书籍，在思维训练维度是大同小异的，只是呈现的方式不尽相同。
何秋光在3-4岁数学智力开发的丛书中，有非常清晰的教学点和教学目标：
对比和比较
分类（大小、形状、颜色、特征、相同、异同）
量的比较和排序
比较和排序（大小、长短、高矮及综合）
规律排序
而来自同是日本的公文式及多湖辉对思维的定义和设计方式截然不同，会更加偏重通过手工、迷宫以及游戏、形象化思维、精细动作相关的形式，并且恰如其分地根据儿童敏感期的兴趣点来设计。
所以这三套书我都是搭配着买，搭配着刷，现在回头看来，何秋光的书有点像对接小学奥数而准备的相关知识点衔接训练，和小一数学思维体系的图形简化版，也就相对刻板，甚至会有不少很牵强的题目出现，佛性的对待这些题，理性地告诉孩子，书本也有可能有错的，出课本和习题的老师也不是神，觉得不合理，就要勇敢提出来。
作为这个时期，非奥数对接体系的纯思维训练而言，我给这三类书一个推荐度打分：
难度： 趣味性：
多湖辉：**** 多湖辉：*****
kumon：**** kumon：****
何秋光：***** 何秋光：***
合理性： i+1体系设计：
多湖辉：**** 多湖辉：****
kumon：**** kumon：*****
何秋光：*** 何秋光：***
但是幼小衔接这件事，我给何秋光打五分
。应试教育一脉相承不是吹的。
契合孩子敏感期的思维训练：迷宫
三岁半的时候ET非常着迷于各类迷宫，这是公文式迷宫中的两页，ET曾经一口气做完半本书，这对他来说就不是“作业”，而是一种兴趣，和他玩乐高、玩拼图、挖沙子一样的兴趣。在玩中完成思维训练雏形的培养，并通过反复练习，完成最终的能力固化。这就是在CCSS数学理论研究中对于概念理解、问题解决和技能训练之间寻找平衡的过程。
这三套的图书只有Kumon的迷宫的设计深得我心，但刷完Kumon所有的迷宫题后，发现ET的迷宫兴趣敏感期还没有过去，就又收了另外一套来自英国Usborne出版社的迷宫。这时就会发现CCSS当年的统一标准化体系是多么的重要，当习惯于Kumon的学习难度和思维模式的时候，再跳到英国孩子常用的思维逻辑和情景迷宫时，会发现既无法完成i+1的顺利进阶，也会有一定的适应时期，幸好ET还处在迷宫阶段的超级兴奋期，所以没花多少时间就可以顺利过渡到适应Usborne的思维方式。
试想，如果这是在一个兴趣周期的衰退末期，可能就会错过这本书，那么迷宫这一课的技能可能会缺失一部分了。因为到了四岁，ET已经完全对迷宫提不起兴趣了，随着身体和体能的发育，孩子已经有更多的能力接触更多新鲜的事物，兴趣点也随之发生转移，那么在合适的时候给予合适的“训练”，这在启蒙期中显得尤为重要。
过了敏感期的思维训练：数字连线
公文式有一套连线书，本质上是通过数字的顺序连线成一幅图，但是接触到这本书的时候，ET早已经可以100以内两位数字的加减法了，过了数字启蒙的敏感期，这本书是完成率最低的一本了，也就没有要求做完，随兴趣来吧，该佛系的时候要佛系。
中国式的幼小衔接
这一套是何秋光的分类思维中的一类题目，也是后来我们开始刷奥数题之后认为比较扎实的一个部分，分类思维，这类思维，在何秋光的书中反复出现，做多了确实挺乏味，有点像刷题。不似Kumon和多湖辉的迷宫、手工那么有趣吸引人。
有麻麻问过我逻辑狗这一套如何的时候，坦白说，数学和数字真的是懂就懂了，而浪费时间在一个这类花哨的游戏中，我倾向让孩子出去遛个车了。大人试图以孩子的视角开发的教具，其实未必真的了解孩子，未必真的是孩子的视角，而只是大人“以为”的孩子的视角，即使它大热。
04
进阶刷题
奥数思维进阶
上面那些书刷的七七八八的时候，ET已经过了四岁，眼见ET对题的驾驭力已经越来越强，当了一辈子初中数学老师的外婆按捺不住，拿出了自己的典藏图书：《奥数夺冠》，这是在ET出生前外婆就带来的一整套丛书
。外婆教了一辈子数学，绝对是活跃在内陆学校的一线班主任/老师/竞赛中的优秀高级教师，培养的学生中，考上清北的也是不少。
虽然我对这么早开始刷奥数题有些异议，但鉴于对外婆的了解，她有她的一套方式，最可贵的是绝不会强迫孩子做他不喜欢的事。而最牛的地方，是能化一切知识点为生活中的日常，循循善诱，慢慢渗透，而且每天作业量不会超过2题，超出的都是ET自己要做的，绝对是在对ET启蒙教育中执行力最强的好队友。
这大半年，我特别的忙，也就没有太关注奥数题刷的进度，直到4岁半的一天，外婆轻描淡写地跟我显摆了下，说一年级的奥数已经做完了，现在要做二年级了，老母亲顿时石化。
翻出来少数的几页的一年级作业题晒个纪念，悄悄说：最近在练字
4秒做出来的计算题
同类的题型
“刷”题这都不算个事，有一天，外婆兴起，给出了一个只有10的数列开放题，要求自己填出其他空格，ET给了四个答案，其中最后一道题用到了负2，负2呀，亲人呐！！！刚四岁半的娃儿呐！
奥数的摸索还在很早的时期，这会是下一个数学思维时代永恒不变的主题，这里以奥数初探索为结尾，其实是想说，虽然在儿童身体发育时期，会严格遵循一个相对一致的规律性，但是思维和智力的发育，是可以适当提前的，而这一系列的启蒙，是能给孩子带来快乐的。如果你觉得你的孩子不快乐了，尝试先反省下自己的方法，是否遵循了孩子的发展规律，是否有足够多的陪伴和过度，让他自己能够有能力handle这一切。
至少在ET从“刷”玩具到“刷”题的这一年多里，他没有过觉得不开心、勉强，甚至出去玩的时候都一定要带一本奥数书，玩回家后ET会主动说，我想做奥数题了。
这样的境界，才是老母亲真正的欣慰。
05
你的“陪”商在线么？
有目的高效的陪伴
每一个人，都是终身学习者，在脱离父母完全独立时拥有制定目标，并具备探索且达成目标的能力，这才是教育除了知识以外还需达成的目的。
“陪”商这个词出现的很有意思，它强调了父母在陪伴孩子过程中的动作所带来的有效结果，简而言之，就是有目的的高效陪伴。
当下很流行一个教学方式，叫做PBL(Problem-Based Learning，即问题式学习，这是以孩子为中心的现代教育方式，有如下五大特点：
1. 从一个需要解决的问题开始学习。
2. 学生在一个真实的情境中对驱动问题展开探究，解决问题的过程类似学科专家的研究过程。学生在探究过程中学习及应用学科思想。
3. 教师、学生、社区成员参加协作性的活动，一同寻找问题解决的方法，与专家解决问题时所处的社会情境类似。
4. 学习技术给学生提供了脚手架，帮助学生在活动的参与过程中提升能力。
5. 学生要创制出一套能解决问题的可行产品（products）。这些又称制品（artifacts），是课堂学习的成果，是可以公开分享的。
无论是刷玩具还是刷题，本质上都是以孩子为中心，完成一幅作品/一道题的探索和学习过程，在这个过程中，会调用到所有他已知的能力，并且探索所遇到的未知能力领域。家长，参与的是协作性活动，在遇到困难时和孩子一起寻找问题解决的方法。而在最后，鼓励孩子分享他在问题解决过程中的心得和成果。这契合了几乎全部的PBL特征，更是建立亲子关系的桥梁。
男孩子都喜欢车，给孩子买一辆车，都是会孩子获得快乐。那么购买一辆普通的汽车模型还是一套乐高汽车模型呢？我选后者。相比而言，都是最终得到了一辆车，但前者只有车的愉悦，后者是通过自己的努力，在不断挑战自我和成就感的过程中获取了一辆车，这是两种截然不同的理念。若非如此，老母亲又如何可以参与其中的协作呢？
我从来都很认同快乐教育，一直在努力保护兴趣的基础上践行目标，激发使其内在快乐的源泉和内驱力，但如果把快乐教育仅仅当做一场放纵的放养，这又是不是太不负责任了呢？
要知道，所有的成长，都是逆人性的，孩子，也不例外
这也是“陪”商中的核心：教会他独立思考和解决问题的能力。
“陪”讲究的是耐心、观察和聆听，并辅以适时的协助，绝不是大包大揽，以大人的思维去“帮助”孩子。否则，就都无法获得超预期的成就感，逐渐也会打击孩子探索欲和勇气。
放手：初接触乐高科技系列的时候会出现很多新的技能点，例如气缸、轴、杆、齿轮、咬合等概念，对于孩子都是未知。我只在告诉他轴和杆的长度如何和说明书比对后就闭嘴了。ET对于自己有信心或者觉得可以尝试的部分，从不让我插手，偶尔有时候我估摸着比较难的步骤会主动帮他解读或帮助，反而弄的ET很生气，于是我就只在旁边观察，即使拼错了也只是默默记下来这个地方，在他求助我的时候再帮助他退回和解释，从此母子和谐相处。
试错：在大型set的拼搭中，一定会遇到中途有错误，需要返工的情况。千万不能让孩子觉得这是错误，会挨批评。有时候他发现了错误，会首先自己回退检查并重拼。如果多次不成功，ET等我们回家后和他一起完成检查纠正的步骤。几次之后，他也会对一些不确定的步骤更加谨慎细心，出错率也一直降低，在最后一套保时捷911完成过程中，只出现了一次需要我们协助纠错的情况了。
安全感和成长：从心理学而言这种陪伴其实是一种精神力量，放手让孩子尝试，陪伴左右被求助。这也是PBL中鼓励试错、发现和反思的整个理念。在跨越了一个个小的阶段后，他有了信心，敢于试错，我也可以有相对的自由，逐渐扩大我和他之间的安全距离。
如今反思，这些都是一个孩子从毫无安全感的幼童，敢于试错，不怕失败，并慢慢从周边获取安全感的必要过程。只是这并不是与生俱来的，是孩子的“痛苦”的蜕变和成长。
但孩子毕竟是孩子，他的世界毕竟是依赖父母的，只有当时当刻当他拥有了独立的能力，才可以从容地面对所有的未知，敢于试错，敢于承担，不断获取安全感。