2020巴尔干数学奥林匹克预选题 代数组 中文翻译

代数组

1.设表示所有正整数组成的集合., 求所有满足以下两个条件的函数,
为完全平方数;
整除 .

2.已知实数满足. 求证:
.

3.已知为两个互异的次非常数多项式.若他们有个公共实根(重根也计算在内),且有项的系数相同. 求的最大值.

4.实系数多项式的三个根, , 满足 .设该函数的图像与轴交于点,与轴交于点, , .若 外接圆与轴再次交于点,求长度的最大值, 以及此时多项式的解析式.

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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。

这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。