初中数学全等三角形满分晋级篇

一、全等三角形在初中几何中的地位

初中数学几何部分以三角形为基础展开， 全等三角形是两个三角形间最简单，最常见的关系，它不仅是学习相似三角形，平行四边形，圆等知识的基础，并且是证明线段相等、角相等常用的方法，也是证明两线互相垂直、平行的重要依据。
在全等三角形的学习中必须要熟练地掌握全等三角形的判定方法，并且能做到灵活应用。在全等三角形探究题中考查学生操作、观察、探索、发现、总结和应变等能力，从具体题目中抽象出几何模型和运用所学内容，解决实际问题。要求学生有条理的思考，分析和应用所学知识点，在以直观操作的基础上，将直观与简单推理相结合，培养学生推理意识，通过分析和思考进行有条理地表达推理过程，有条理的书写推理过程的理解，为之后进一步学习几何内容打下坚实的基础！

全等三角形在考试中是逢考必考的知识点，题目比较灵活多变，可能直接考查到三角形全等的证明和性质，也可能会与几何探究或函数与几何综合题结合考查。全等三角形可以说是初一下到初二上这一年最重要也是最难的知识点，没有之一，这类题目可以简单到得分率100%，也可以难到压轴题中直接让人望而却步的程度！

二、全等三角形知识体系、考法六进阶

学习“全等三角形”的进阶如下：

  • 第一级：全等三角形的定义

  • 第二级：全等三角形的性质

  • 第三级：全等三角形的判定

第一到三级属于全等三角形中比较基础的题，对于广大的同学来说，基本不会丢分，出题在选择题、填选题或者证明题都会出现！
第四级：全等三角形的常见模型
第四级属于全等三角形中中档题目，这个时期的全等三角形已经需要一些分析手段才能拿满分，一些基础知识不扎实的同学已经开始丢分。
第五级：全等三角形与几何变换
第六级：全等三角形与动点、函数的综合应用

第五级和第六级属于比较难的题了，这类题颇具威慑力，综合能力很强，已经开始在压轴题的位置出现，对大多数同学而言都是具有较大的威胁！


三、全等三角形必备知识点总结：

1．全等三角形的认识和性质
★全等三角形：能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号 “≌”连接，读作“全等于”。用“≌”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
★全等三角形性质：全等三角形的对应边、对应角相等，这是证明边、角相等的重要依据。
★全等三角形对应边和角要找准：两个全等三角形，准确判定对应边、对应角，即找准对应顶点是关键。
★在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。
(1) 有公共边的，公 共边一定是对应边；
(2) 有公共角的，公共角一定是对应角；
(3) 有对顶角的，对顶角是对应角；
(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。
2．全等三角形的判定
五大判定定理：

  • SSS：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。

  • ASA：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。

  • AAS：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。

  • SAS：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。

  • HL：两直角三角形，如果有一组直角边和斜边对应相等，则这两个直角三角形全等，，简写为“HL”。

3．判定定理理解：
在全等的判定中，常用的方法有SAS，SSS，ASA，AAS和HL定理，没有AAA和SSA，因为两种都不能确定唯一的三角形。
三角形全等的判定条件中必须是三个元素，并且一定有一组边对应相等；
三边对应相等，两边及夹角对应相等，一边及任意两角对应相等，这样的两个三角形全等；两边及其中一边的对角对应相等不能判定两三角形全等（直角三角形除外）。

四、全等三角形证明思路梳理：

在寻求三角形全等的条件时，要注意公共边、公共角和对顶角等，常常是隐含的条件。经常利用平行的性质为三角形提供角相等的条件，也利用全等三角形的性质为平行的判定提供角相等的条件。
1.寻找角相等：

  • 对顶角相等；

  • 涉及角平分线，有两个角相等；

  • 两条平行线被第三条直线所截时同位角相等，内错角相等；

  • 在直角三角形中，两锐角互余；

  • 特殊几何图形中隐含的条件（如等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形）；

  • 三角形的外角等于不相邻的两内角和；

  • 涉及高线，有两个90°角；

  • 通过已知的全等三角形性质得出.

2.寻找边相等：

  • 角平分线上的点到角两边的距离相等；

  • 两个三角形有公共边，且这条公共边上有四个点时，可以利用线段的和或差得边相等；

  • 特殊几何图形中隐含的条件（如等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形）；

  • 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；

  • 若涉及中点、中位线时得到线段相等；

  • 通过已知的全等三角形性质得出.

3.思路梳理：

已知“SS”，可考虑A：第三边，即“SSS”；B：夹角，即“SAS”

已知“SA”，可考虑A：另一角，即“AAS”或“ASA”；B：夹角的另一边，即“SAS”

已知“AA”，可考虑A：任意一边，即“AAS”或“ASA”

五、全等三角形证明中常见的隐含条件：

在三角形全等的证明中，有些条件会隐藏在图形之中，因此能从直观的图形中识别出可能全等的三角形是解题的关键。与三角形全等相关的证明题好难过，常用到的隐含条件如下：

1、公共边

2、边加减类型的全等三角形

3、公共角，对顶角类型的全等三角形

4、旋转类型的全等三角形


六、全等三角形证明中常见的模型：

1.平移模型：

可看成是由对应相等的边在同一边上移动所构成，故对应点的相等关系一般可由同一直线上线段的和或差证得

2.对称模型：

图形沿某一条直线对称，且这条直线两边的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应点，可以寻找公共边和公共顶点（对顶角相等）

3.旋转模型：

可看成由三角形某一个顶点为中心旋转构成的，故一般有一对相等的角隐含在平行线、对角线、某些角的和或差中

4.三垂直模型：

也叫双垂直三角形，其中的证明多数可以用到同（等）角的余角相等这个定理，相等的角就是对应的角

七、全等三角形证明学习建议：
1、规范书写格式；    

在刚开始接触全等三角形证明题目的时候，步骤一定要完善，全等三角的5种证明方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）最好能够写在证明结果之后，相信学校老师也会严格要求大家。千万不要怕麻烦，更不要草草了事。只有把基础打牢了，才能让我们进入更高的层次去训练难题！

2、记忆模型； 

很多题目的图都有相似之处（比如我们讲的“平移型、对称型、旋转型”全等），其方法和思路也是有规律可循，我们将这些点总结起来，就形成了模型！在全等这个阶段，模型的积累非常重要，很多几何学得好的同学都是因为自己在课下整理了很多类似的题，并且找出共同点，总结出模型。比如说：角分线模型、手拉手模型、旋转模型......

3、多见题型； 

正如第二点所说，记忆模型很重要，而这也是建立在有一定的题量储备的前提下，做题——总结题型——应用，这才是学好几何的方法。不下水是永远学不会游泳的，所以，所有的理论、总结出来的经验都要和实践相结合。因此，一些辅导书和一些额外的练习册，都是非常有用的。

4、一题多解  
  

普通同学做一道是一道，学霸们做一道顶三道，很多题目解法不止一种，对于这种题目不要局限于“做出来就行”而是“这题还能怎么做”。当你手里握着10种方法，你就能比只会3种方法的同学更加游刃有余，因为你总能看到别人看不到的路。

5、辅助线段；

这是真正体现数学能力的地方。走路容易开路难，辅助线的添加是要根据具体的题目、图形、条件和要求证的结论而综合判断分析得到的，如果之前四点都做好了，那么你就成功了一半，剩下的就是需要专业的指导和总结分析，这一点，要么靠自己去看相应的书籍，要么等着老师去讲专题训练。但是，前提是，前4点已经做得很好才可以

END

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