再谈数学概念

以前我曾经谈过概念，这篇文章再谈一谈和概念直接有关系的定义。

定义为什么重要？我不想抽象地谈论定义，只想从对大家最有直接帮助的地方谈起。就我个人的认识来说，定义既是概念的必要条件，也是概念的充分条件，或者说，既可以当做“性质定理”，也可以当做“判定定理”。

比如初中几何中的“平行四边形”定义就是一例。你要判断一个四边形是不是平行四边形，那就要看这个四边形是不是对边分别平行，或者看是否满足其它判定定理，而其它判定定理归根到底是因为可以转化成定义要求的条件。而你一旦遇到平行四边形，不管是条件里已经给出的，还是前面你证明了的，立刻可以应用全部平行四边形的性质定理继续推理。可以说，定义本身就给我们提供了丰富的解题依据。更重要的是，有时我们没有别的依据，只能靠定义来解题。我想，凡是曾经证明过数列和函数极限的人都深有体会吧。为了让没有接触过极限的人也理解这一点，我举一个和极限概念无关的例子：作三角形的外接圆。显然这里只需要作任意两边的垂直平分线并求交点就可以了。而这个作图法之所以成立，也正是因为所求的交点到三角形的三个顶点距离相等，符合圆的定义。类似的，要想证明若干点共圆，一个容易想到的方法就是证明这些点到另外一个定点的距离相等。

从以上的简单例子可以看出，只有对做题有帮助的定义才是好定义。初学数学的人，往往容易把关于对象的直观描述当成定义。但直观描述不但是不可靠的，也是对做题没有帮助的。大家可以翻一下自己的数学书，看看哪些话语会在解题时用到，就能对这里说的有所体会。或者大家也可以设想一下，假设你要教给完全没有生活经验的电脑一个概念，那你应该是教它严格的数学定义还是直观描述呢？

越是到高层次的数学，定义的作用越大，以至于有人说，数学最重要的不是技巧，而是概念（显然这是包括其定义在内的）。除了以上我们曾经提到的极限定义以外，在高层次的数学当中，我们还会遇到各种各样的所谓“空间”，而要判断空间所属哪一类，就必然要用到这些空间的定义，逐条加以分析，进一步我们可以根据它所属的空间类别，来推断它的性质——这一类空间就有这一空间的性质，那一类空间就有那一类空间的性质。这样就可以把很多貌似不同的东西放在一起分析，得到同一类结论。

但还是有很多人觉得概念难以理解，我的看法是，要理解概念，不妨就找点实际例子。这里的例子既包括我们早就熟悉的，也可以包括一些不熟悉的，还可以包括一些不满足定义的例子。这样从各个方面来理解定义，就容易多了。比如很多人对矩阵的特征向量、特征值有困惑，那你不妨随便写个简单的矩阵，然后手动求一下特征向量和特征值，再和原来的矩阵作一下乘法，看看乘得的结果是什么。这里可以用具体的数字来算，不要总在字母里打转转。在这之后，还可以再随便假设特征值是一个什么别的数，看看能不能得到特征向量（肯定是不能）。我相信，这一通操作下来，你会对定义有更进一步的理解。