2020 全国卷高考数学的猜想1

——突出试题开放性、增强试题的探究性

考试说明：引导教学注重方法指导，在解决问题中发展考生的数学素养，加强试题的基础性、综合性、开放性和探究性研究。（下面节选自《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》）

学生已经习惯了在清楚的条件下，目的明确的情况下进行推理。在教学中发现，增强试题的开放性让我们惊讶地发现很多优秀的学生竟然无从下手，比如：

【点评】此题涉及圆和直线相交，相切，把这些要素集中在△AMO中。关键是要确定圆心的位置，由 AB 中垂线确定圆心坐标，通过相切把半径用a来表示，在△AMO中，由勾股定理可得。

【点评】探究是否存在定点P，使得|MA| - |MP|为定值。动点M到一动点和一定点之差为定值，把尽可能多地往“定”的方面进行转化，从而想到把两动点

|MA|的距离转化动点M 到定直线x = -2的距离，如果P存在，则M 到定直线与定点距离之差为常数，容易想到M 的轨迹为抛物线，问题转化为了求P的轨迹方程，从而找到方向。

应该经常让学生去研究这类开放性问题，发展学生的探究能力、发散学生的思维。

2.（2019 北京理科第12 题）已知 l，m 是平面 α 外的两条不同直线．给出下列三个论断：

① l⊥m；           ② m∥α ；        ③ l⊥α ．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．

【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：

（1）如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m. 正确；

（2）如果 l⊥α，l⊥m，则 m∥α. 不正确，有可能m 在平面α内；

（3）如果 l⊥m，m∥α，则 l⊥α. 不正确，有可能l 与α斜交、l∥α.