《九章算術》之弧田公式及畝法說
《九章算術》之弧田公式及畝法說
上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo XiāngGuǎn 112
何世強 Ho Sai Keung
提要：古已有求弧田﹝即今之所謂弓形﹞面積之公式，載於《九章算術‧卷一‧方田》中弧田術。本文亦提及1 畝有 240 方步。
關鍵詞：弧田、弧矢形、畝法
第 1 節 《九章算術》之弧田面積公式
古已有求弧田﹝即今之所謂弓形﹞面積之公式，載於《九章算術‧卷一‧方田》中弧田術，曰：
術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。
此法稱為“古法”，即以古公式求弧田面積。弧田涉及弦與矢，以下為弧田弦矢圖及弧田面積公式圖：
今設 BD 為矢，而 BD = v；AC 為弦而AC= c。
《九章算術》之弧田面積 ABC =
(cv + v2)-------------------------- (1)
此公式可憑觀察上兩圖而得，但此面積之誤差極大。
cv 顯然為等腰 ΔABC 之面積，但尚欠 AB 及 BC 兩小弓形之面積﹝以 AB 及 BC 為弦﹞，此兩面積之和以
v2 作為近似值，即矢平方 BEFD 之半，亦即直角 ΔDEF 之面積。 (1) 式誤差極大之另一理由為涉及古圓周率 π = 3，而π = 3 乃粗略之值，若以此數值為基礎，則其相關之算法及所得之結果亦粗略。
(1) 式與π = 3 有關之說可見之於劉徽注文，《九章算術‧卷一‧方田》劉徽注曰：
弧田，半圓之冪也。故依半圓之體而為之術。以弦乘矢而半之，則為黃冪，矢自乘而半之，則為二青冪。
式 (1) 之面積公式可由半圓之面積推出，故曰“依半圓之體而為之術”。若π= 3，圓半徑為 r，則圓面積為 3r2，半圓面積為
。
半圓面積 =
=
(2r × r +r2) =
(AC× OB + OB2) -------------- (2)
等號右方乃 (1) 式之形式。
注意 OA = OC = OB= r，AC = 2r﹝見左下圖﹞。
若直徑AC 向上移至 A’C’ ，則A’C’ 之長非 2r，而縮短成 c，相應 OB縮短成 BM，其長為 v，半圓形變成弓形，其面積仍有 (2) 之形式，但相應數值成
(cv + v2)﹝見右上圖﹞，即 (1) 式。
又據注文所云
cv 是為“黃冪”，
v2 是為“二青冪”。
下圖之 ΔABC是為“黃冪”，
v2 是為“二青冪”，即左右兩梯形面積。
以下為黃冪與青冪圖：
《九章算術‧卷一‧方田》有以下之例：
今有弧田，弦三十步，矢十五步。問：為田幾何？
答曰：一畝九十七步半。
解：
從上可知 c = 30 ，v = 15，代入以上公式 (1) 得：
(cv + v2) =
(30 × 15 + 152)
=
(450 + 225)
=
× 675
= 337
﹝方步﹞。
若 1 畝有240 方步，則337
方步 = 1 畝 97
﹝方﹞步，合所問。
《九章算術‧卷一‧方田》作一畝之定義如下：
以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃。
淳風等按：
一畝之田，廣十五步，從而疏之，令為十五行，則每行廣一步而從十六步。又橫而截之，令為十六行，則每行廣一步而從十五步。此即從疏橫截之步，各自為方，凡有二百四十步。
“疏”，解釋也。因古人無“方步”之概念，為表示方步，通常表示為一長方形，其闊為一單位。例如一畝田，可以以下圖表示：
以上長方形面積為 240方步，但古人仍稱之為“240步”。朱世傑《筭學啟蒙‧總括》曰：
按畝法：闊一步，長二百四十步。
《筭學啟蒙》之意指一畝為 240方步。在《九章算術》中，李淳風對一畝田作如下之闡釋：
令為十五行，則每行廣一步而從十六步﹝下右圖﹞。
又橫而截之，令為十六行，則每行廣一步而從十五步﹝下左圖﹞。
以上兩長方形之面積均為 240 方步，即一畝。從，同縱。
《九章算術》李籍音義曰：
畝法，莫厚切。司馬法，六尺為步，步百為畝。秦孝公之制，二百四十步為一畝。
故 1 畝有 240 方步之制乃始於秦，其後歷朝皆用之。
《九章算術‧卷一‧方田》有另一題如下：
又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。問：為田幾何？
答曰：二畝一百五十五步八十一分步之五十六。
c = 78
=
，v = 13
=
，又依以上公式可得：
[
×
+ (
)2]
=
(
+
)
=
(
)
=
= 635
﹝方步﹞。
635
方步 = 2畝155
方步。
本例之一畝亦為 240方步。
以下為元‧朱世傑《筭學啟蒙‧總括》提及之“畝法”：
第 2 節 《九章算術》之矢弦求圓徑法
《九章算術‧卷一‧方田》劉徽注文尚涉及已知矢、弦而求圓徑。
已知矢、弦而求圓徑與弧田面積之公式迥然不同。引文曰：
句股鋸圓材之術，以弧弦為鋸道長，以矢為鋸深，而求其徑。
古人鋸圓木材，以 CM 為矢為鋸深，其長為 v，以 AB 為弧弦為鋸道長，其長為 c，有 v 有 c，而觸發求圓徑之想。 今設圓直徑為 x，以下為鋸深鋸道長求圓徑圖。
從圖可知 OM + MC = OC，在直角 ΔOBM 中，OM =
，
MC = v ，OC =
x，即：
+ v =
x
=
x – v
–
=
– xv + v2
–
= – xv + v2
xv = v2 +
x =
(v2 +
)
x = v +
。
《九章算術》清‧編纂官案曰：
此謂弧矢形求圓徑，其術以弧弦折半自乘，矢除之，加矢，為圓徑。
改寫成算式如下：
弧弦折半自乘，即：(
c)2 =
，
矢除之，即：
，
加矢，即：v +
，為圓徑。
《九章算術》注曰：
既知圓徑，則弧可割分也。割之者，半弧田之弦以為股，其矢為句，為之求弦，即小弧之弦也。以半小弧之弦為句，半圓徑為弦，為之求股。以減半徑，其餘即小弦之矢也。割之又割，使至極細。但舉弦、矢相乘之數，則必近密率矣。
已知矢、弦而求圓徑其實是割圓術之初步，割圓術最終為求圓周率之密率，與求弧田面積不相類。
以上引文意指求得圓徑後，則弧可以再二分，弧 ACB 二分成AC 與 CB，弧 CB 可二分成 CN 與 NB，ON 為圓半徑，CB為弦，兩者算出後，以句股定理算出 OP 之長，PN 之長亦可得，在直角 ΔCNP 中，可算出弦 CN 之長，再將CN 平分，又可算出介於 CN 之間之兩相等弦，步驟可繼續，如此可算出一非常精密之圓周率。
《九章算術》注又補充曰：
若但度田，取其大數，舊術為約耳。
其意指若量度田地之面積，取其大約之數即可，式 (1)之面積公式可用。