每日一题333：带参数的两类反常积分敛散性的讨论思路与方法

练习题

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习333：讨论以下反常积分的敛散性.

(1) ；

(2)  .

先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！

【注1】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！

【注2】感谢学友的热心整理分享，欢迎更多学友投稿分享好的学习资源、学习经验和大学学习、生活经历、经验，分享热线：微信、QQ、邮箱都为QQ号码：492411912.

练习参考解答

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习333：讨论以下反常积分的敛散性.

(1) ；

(2)  .

【参考解答】：(1) 基于积分对区间的可加性，有

由于，所以

由无界函数反常积分积分的结论，可得反常积分当时收敛，当时发散.

另外，由于

所以由无穷限反常积分积分的结论，可得反常积分当时收敛，当时发散.

故要原反常积分收敛，必须两个反常积分都收敛，所以当时，反常积分收敛.

(2) 原积分的敛散性的判定等价于判定以下级数的敛散性

令

则有

令，则

所以，从而由级数敛散性的结论，可得时，积分收敛；时，积分发散.

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