希帕索斯因颠覆了老师毕达哥拉斯的理论，同窗竟把他扔进了地中海…︱科学史
一个国家或地区的经济会发生“经济危机”，而即使象牙塔中的理论研究也会发生危机。本文从数学史上的第一次危机（共三次危机）出发，理解危机对科学发展的促进作用。
毕达哥拉斯其人
他既是数学家，也是哲学家和音乐理论家。他对数字痴迷到近乎崇拜，同时认为一切真理都可以用比例、平方及直角三角形去反映和证实。他的毕达哥拉斯学派除了将数学推崇到极致之外，还具有一些不可思议的神秘主义因素。
例如，他们认为吃蚕豆是不道德的，因为人死之后，灵魂会寄存在蚕豆中，据说毕达哥拉斯本人可以与牲畜交谈，以便告诉牲畜不要吃蚕豆。
毕达哥拉斯
毕达哥拉斯与泰勒斯相差50多年，曾经见过泰勒斯并受他以及米利都学派的影响，可以算是泰勒斯的学生。
毕达哥拉斯曾用数学研究乐律，首次发现了音调的音程按弦长比例产生，频率间隔比例的简单数值形成了美妙和谐的声音。由此，毕达哥拉斯将自己有关数的理论结合米利都学派的宇宙论，提出了宇宙无比“和谐”的概念。他用数学关系表达音调的特质，他认为这些关系也呈现在视觉、角度、形状中……所有的比例都是按照完美的数字构成的!太阳、月亮和行星都散发着自己独特的嗡嗡声(轨道共振)，地球上生命的特性反映了人耳察觉不到的这些天体的声音。
毕达哥拉斯第一次提出了大地是球体这一概念，从他开始，希腊哲学产生了数学的传统，对以后古希腊的哲学家有重大影响。
毕氏学派对数学的贡献
毕达哥拉斯定理
毕达哥拉斯学派还研究过正五边形和正十边形的作图，得到黄金分割的比值数：(1:0.618)。
黄金分割
除了诸如证明勾股定理这种具体的贡献之外，毕氏学派当时最著名的数学思想是用原子论的观点，将几何建于算术(整数)之上。根据毕达哥拉斯学派的观点，一切数都可以用整数以及整数的比值(即我们现在所说的“有理数”)表示出来。
当年的古希腊，各种哲学思想派别林立、此消彼长。毕达哥拉斯欣赏原子论的观点，并把它用于数学，用原子观点来构建他的几何纲领。
原子论认为万物分下去是原子，而毕氏学派认为几何线段分下去是“点”。点是什么呢?就是几何的原子，和原子一样有大小，即其长度不为零。例如，设d表示点的长度，d有三种可能性：d= 0, d = 无穷小，d>0。
毕氏学派用原子论观点解释几何线段
对“点”的理解反映了当时数学界连续派和离散派观点的区别，根据连续派的说法，线段无限可分，最后的“点”无尺寸，大小为零，或有人说是“无穷小”。但毕氏学派认为：如果说点是0，那么，无尺寸的“点”，如何能构成有尺寸的线段呢?这是无中生有、自相矛盾的。如果说点是无穷小，那么无穷小是什么?
也说不清楚，令人困惑，更显得诡秘深奥。因此，毕氏学派采取离散派的观点，认为“分割”有尽头，最后的“点”很小但不为零。换言之，在毕氏学派看来，线段就像是许多珠子串在一起的珍珠项链。基于毕氏的几何观，任何两个线段都可以共度(或称公度、通约)，因为它们都由某个最小的长度组成。也就是说，所有的数都可以表示为整数或者整数之比。因此，世界及宇宙的美妙与和谐就建立在整数的基础之上!
希帕索斯发现无理数
发现无理数的希帕索斯
谁知好景不长，毕达哥拉斯的一位学生希帕索斯发现了√2这种无法用整数或整数之比来表示的数(之后被称为“无理数”)。
事实上，从毕氏学派证明了的勾股定理，是很容易发现无理数的。一个边长为1的正方形，其对角线便不能与边长通约，长度记为√2。类似情形还有很多很多：面积等于3、5、6、……17的正方形的边，与单位正方形的边也都不可通约。无理数的存在逐渐成为并不罕见人所共知的事实。√2与1不可通约，可以用如下反证法证明：
无理数的发现，对于依靠整数的毕氏哲学，是一次致命的打击。因此，据说当时他们将这些事实严格保密，缄口不言，不想被不识时务的希帕索斯给捅了出来!唉，别无他法，只有将他丢到海中喂鱼，才能解除一点同窗学子们的心头怨恨。
不过是发现了一种不能通约的数而已，有这么严重吗?情况的确挺严重的，因为：如果存在不可通约的线段，就没有公共的量度单位，便不能将“点”看成有长度的东西，毕氏学派“万物皆(整)数”的哲学思想立刻分崩离析，建立于美妙的整数之上的和谐宇宙也轰然倒塌了!毕氏学派证明的几何命题、他们关于相似形的一般理论，都局限在可通约的量上。人们自然便怀疑：数学作为一门精确的科学是否还有可能?宇宙的和谐性是否还存在?
因此，无理数的发现，引起了第一次数学危机。
芝诺悖论冲击极限概念
没过多久，生活在另一个古希腊城邦埃利亚的芝诺(Zenoof Elea，公元前490—公元前430)，又提出了几个怪怪的、似乎扯不清楚的“悖论”，更加深了人们的危机感，以及对美好和谐世界的担忧。
芝诺
芝诺是著名哲学家巴门尼德的学生，因提出四个有关运动的悖论而知名。其中的阿基里斯悖论与数学中极限理论密切相关，在此重点介绍一下。
阿基里斯是古希腊神话的善跑英雄，希腊第一勇士，假设他跑步的速度为乌龟的十倍：例如，阿基里斯10米/秒，乌龟1米/秒。
出发时，乌龟在前面100米处。
阿基里斯追乌龟
按照常识，阿基里斯很快就能追上并超过乌龟。
芝诺却说：“他永远都赶不上乌龟!”
为什么?芝诺振振有词：开始，乌龟超前100米;当他跑了100米到乌龟开始位置时，乌龟已经向前爬了10米，乌龟超前10米。然后下一步，乌龟将超前1米;再下一步，超前0.1米;然后继续下去：超前0.01米、0.001米、0.0001米……不管这个数值变得多么小，乌龟永远超前!
用我们现代的数学知识，一个简单的代数计算就足以反驳芝诺的“谬论”。
假设某个时刻x秒之后，阿基里斯追上了乌龟(下图)，可以列出x满足的方程并解出x=(100/9)。也就是说，11又1/9秒之后，阿基里斯赶上了乌龟!
阿基里斯悖论的解答
因此，现在的大多数人会觉得芝诺是在“诡辩”，因为他说的乌龟超前的一连串数字：1米、0.1米、0.01米、0.001米、……，貌似无穷多，但都是在(100/9)秒之内完成的，并非“永远”!
当我们说到“无限”，有两种含义：一是无限分割，一是无限延伸。无限份时间不等于无限长时间!一个收敛级数的和是有限的。而时间的流逝却是无限的。芝诺显然混淆了两者，或者偷换了概念。因此，以现代观点看，他的确是在“狡辩”。
不过，我们需要用历史的眼光分析这个问题。那是两千多年前，还没有完善的极限概念，可能也不知道“收敛级数”这个词，而这正是我们得到上面结论的基础。比芝诺稍后(200年左右)的阿基米德(公元前287年—前212年)对此悖论进行了颇为详细的研究。他把每次追赶的路程相加起来计算阿基里斯和乌龟到底跑了多远，将这问题归结为无穷级数求和的问题，证明了尽管路程可以无限分割，但整个追赶过程是在一个有限的长度中。所以说，芝诺的说法并非仅仅是狡辩。
芝诺悖论的意义
极限思想的萌芽
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话是中国惠施(公元前370年—前310年)说的。意思是说，一尺长的竿，每天截取一半，一万年也截不完。竿子越来越短，长度越来越趋于零，但又永远不会等于零，这正是“事物无限可分，但又不可穷尽”的极限思想的萌芽。
不同的极限观点
前面说到的毕氏学派用原子论解释几何的数学观，代表了古希腊极限观。
芝诺时代已经过去2400多年了，但是围绕芝诺的争论还没有休止。芝诺揭示了稠密性连续性、无限可分和有限长度、连续和离散、实无穷潜无穷之间的关系。引起人们对这些关系的关注与研究。
实无穷和潜无穷
实无穷把极限当作数学实体，潜无穷认为极限是无限趋近的过程。古时候，毕氏学派代表“实无穷”的极限观，惠施的说法是“潜无穷”观点。
因此，在希腊数学发展的关键时刻，芝诺也做出了有意义的贡献。
第一次数学危机的解决
第一次数学危机被柏拉图(Plato，公元前429年—前347年)的弟子欧多克索斯(EudoxusofCnidus，公元前408年—前355年)创立了新的比例论、完善了穷竭法而克服。
欧多克索斯也属于毕氏学派，是毕达哥拉斯弟子阿尔库塔斯(Archytas，前428年—前347年)的学生。因此，第一次数学危机的解决可说是“解铃还需系铃人”;也可以说，无理数的发现，当年是毕氏学派的最大灾难，其实也是毕氏学派的最大成就。
欧多克索斯处理不可通约量的方法，出现在欧几里得(前325年—前265年)《几何原本》第5卷中，和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。他给出的比例的定义与所涉及的量是否有公度无关，这样就容许了无理数的存在。
从历史发展的视角理解科学危机
第一次数学危机使整数的尊祟地位受到挑战，使古希腊的数学基础发生了根本性的变化：在第一次数学危机之前，古希腊的数学是以数为基础的；第一次数学危机之后，古希腊的数学基础则转向几何，以几何为基础，几何学开始在希腊数学中占据特殊地位，使数学的公理化成为可能。
危机的解决也推动了数学及其相关学科的发展。同时，第一次数学危机也表明了直觉和经验不一定可靠，推理证明才是可信的。从此希腊人开始建立几何学公理体系，直到后来的欧几里得。因此，公理化思想是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物。
由此产生的欧几里得几何对数理天文学的发展有重大意义。由于宇宙是几何的，宇宙的规律是几何规律，因此研究宇宙就离不开几何图形以及几何理论。
因此，第一次数学危机，是整个科学发展进程中的一个重要事件，对科学的发展起了促进作用。