过圆锥曲线上一点作切线的方法(第二部分)

方法七：适用于椭圆和双曲线， 为中心

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作法：

1.在曲线上任意取一点 ；

2.过 作任意直线，交曲线于 、 点；

3.连接 、，二者延长线交于 点；

4.连接 、，二者延长线交于 点；

5.连接 ，并找到其中点 ；

6.连接 。

直线 即为所求。（ 的位置不影响结论，见图 1、图 2）

证明：

椭圆情况：

先考虑圆（图 a），连接 、。

因为 是直径，

所以 和 垂直， 和 垂直，（圆直径所对的圆周角是周角）

所以 、 的交点 是三角形 的垂心。

所以， 垂直于 ，即 。

是直角三角形 斜边上的中线， 是直角三角形 AEF 斜边上的中线，

所以 ，，（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，等边对等角）

所以 。

又因为 ，

得到 ，

即 和 垂直，所以 是切线。（圆的切线和过切点的半径垂直）

将圆 沿任意方向伸缩成为椭圆，以上各点线圆之间的结合关系不变，

得证。

双曲线：

考虑等轴双曲线（图 b），设其方程为 。

、，、。

易知 方程为 ， 方程为 ，

二者联立，解得交点 的坐标为 。

方程为 ， 方程为 ，

坐标 。

中点 坐标 ，

过曲线 上 点的切线方程为 ，

将 点坐标带入等式成立，即 点在过 点的切线上。

将等轴双曲线任意伸缩为一般双曲线，上述结论不变。

得证。

方法八：适用于抛物线

作法：

1.在抛物线上任取一点 ，过 、 作对称轴的平行线；

2.连接 和顶点 并延长，与过 点所作平行线交于 ；

3.连接 并延长，与过 点所作平行线交于点 ；

4.作 中点 ，并连接 。

直线 即为所求。

证明：

以抛物线顶点 为原点，对称轴为 轴，设 ，，。

方程为，直线 平行于对称轴，方程 ，

所以 坐标为 。

同理可求得 坐标为 。

容易知道 、 横坐标相同，这是因为 。

所以 点坐标为 。

将其带入过 点的切线方程 ，

右边是 ，其中 ，所以等于 ，再代入 和 ，得到 ，

恰好等于左边，即 点坐标满足过 点切线的方程， 在切线上。

得证。

方法九： 是中心，适用于椭圆。

作法：

1.过 向长轴作垂线，交椭圆于点 ；

2.连接 并延长，交椭圆于点 ；

3.作 点关于 的对称点 ；

4.连接 ，交椭圆于点 ；

5.连接 ；

6.过 作 的平行线 。

即为所求。

证明：

设椭圆方程为 ，,

则 ，，，

过点 的切线方程为 。

直线 方程为 ，

可以验证， 满足直线 和椭圆方程，是 点坐标。（注意到 ）

所以 的斜率可化为 ，（两边通分，且注意到 ）

右边为过 点切线斜率，

得证。

方法十： 是中心，适用于双曲线。

作法：

1.过 向实轴作垂线，交双曲线于点 ；

2.连接 并延长，交双曲线于点 ；

3.作 点关于 的对称点 ；

4.连接 并延长，交双曲线于点 ；

5.连接 ；

6.过 作 的平行线 。

即为所求。

证明：

设双曲线方程为 ,则 ，，，

过点 的切线方程为 ，直线 方程为 。

可以验证， 满足直线 和双曲线方程，是 点坐标。（横坐标可以用韦达定理求出，并注意到 ）

所以 的斜率可化为 ，（两边通分，且注意到 ）

右边为过 点切线斜率，

得证。

方法十一：O 是顶点，适用于抛物线。

作法：

1.过 作抛物线轴的垂线，交抛物线于点 ；

2.在轴上点 关于 的对称点 ；

3.连接 ，交抛物线于点 ；

4.连接 ；

5.过 作 的平行线 。

l 即为所求。

证明：

设抛物线方程为 ，，则 ，，

过 点切线方程为 ，直线 方程为 。

可以验证， 满足直线 和抛物线方程，是 点坐标。

所以 斜率为 ，

恰为过 点切线斜率，（注意到 ）

得证。