数学的启迪·读《数学简史》
——读蔡天新《数学简史》一书有感
最近忽然对数学产生了浓厚的兴趣。于是收集了一些自己感兴趣的与数学相关的书籍进行阅读，蔡天新的《数学简介》就是其中的一本。
一、数学的历史
数的产生，与人们的生产和生活需要有着密不可分的关系。无论是游牧民族对动物的猎杀，还是农耕民族的种植、饲养活动，都有计数的要求。在历史上曾有很多种计数的方法，比如说数石子、结绳、用木棍（后来发展为算筹）等等。而数学符号的产生以及将数的概念从实物中抽象出来，则是人类思维的一次重要进步。符号化和抽象化，是数学作为一门学科最为基本的特征。
古希腊的泰勒斯是当之无愧的数学鼻祖。他证明了平面几何中的若干命题：圆的直径将圆分成两个相等的部分；等腰三角形的两个底角相等；两条相交直线形成的对顶角相等；如果两个三角形有两角、一边对应相等，那么这两个三角形全等。当然，泰勒斯最有意味的成就是如今被称作“泰勒斯定理”的命题：半圆上的圆周角是直角。更为重要的是，他引入了命题证明的思想，即借助一些公理和真实性已经得到确认的命题来论证其他命题，可谓开启了论证数学之先河，这是数学史上一次不同寻常的飞跃。从泰勒斯到毕达哥拉斯创建的毕达哥拉斯学派，给出了大家熟悉的勾股定理，然后是欧几里得的《几何原本》，阿基米德对球、圆锥和抛物线等的研究。800年之后的公元3世纪，东吴数学家赵爽用非常优美的方法独立证明了勾股定理，他是在注释《周髀算经》时运用面积的出入相补法给出证明的。虽然时间上晚了不少，但赵爽的证明有案可查，图形也更为美丽，而毕达哥拉斯的证明则后人推测的。
印度和波斯人对数学的发展所也作出过显著的贡献。公元600多年的杰出数学家婆罗摩笈多，对“0”作为一个完整数字进行了描述，给出了数字“0”的运算性质，同时将数延伸到负数。从印度到阿拉伯王朝，必须谈到的就是花剌子密，他给出了很多代数问题的一般性解法，包括一元二次方程的通用代数解法等。我们今天在中学求解一元二次方程，所用的求根公式的出处就在这里。
近代数学的本质上可以说是变量数学，而变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明。解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。解析几何最重要的前驱是法国数学家奥雷斯姆，但真正的发明者要归功于法国数学家笛卡儿和费马。解析几何的建立对于微积分的诞生有着不可估量的作用，牛顿和莱布尼兹各自独立地创建了微积分，牛顿是从运动学的角度着手的，而莱布尼茨则是侧重于几何学来考虑的。尽管着眼点不同，但他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现时数学中分析学这一大分支名称的来源。微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。在数学史上，18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。函数概念是莱布尼兹首先使用的，最先将其公式化的是约翰·伯努利，而欧拉在《无限小分析引论》中明确宣布：“数学分析是关于函数的科学”，并给出了函数的定义。
从公元前3世纪到18世纪末，数学家们一直对欧几里得几何学中的第五公设，即平行公设心存疑虑。18世纪中叶开始，数学家们发展了这种平行公设在其中不成立的新几何，高斯称之为非欧几何。对非欧几何的发明有影响的数学家有：高斯、波约和罗巴切夫斯基。随后，德国数学家黎曼在1854年发展了非欧几何，建立了黎曼几何。黎曼是最先理解非欧几何全部意义的数学家，也是现代数学史上最具创造性的数学家之一。
代数学（与几何学一样）真正的革命性的变革也是在19世纪才开始的。率先有所突破的领域就是数论——一个专注于自然数或整数的性质及其相互关系，时常游走于代数的宅前院后的最古老的数学分支。数论研究是从费马开始的，他提出的一堆定理（猜想），让数学家们忙碌了好几个世纪。如：费马小定理；费马大定理等等。作为一个远离首都巴黎的外省人，费马从事的司法事务占据了他白天的时间，而夜晚和假日几乎全被他用来研究数学了。此后，德国数学家库默尔建立了理想数理论，由此奠定了代数数论这门新学科的基础，这或许比费马大定理更重要。
进入20世纪以来，数学在各个领域都有了新的、更大的发展，如分形理论、混沌数学、模糊数学、计算机科学……等等。这门古老的学科正以年轻者的姿态向人们展示着其自身的学科魅力，吸引着更多的人从事数学研究，同时，对数学学科的实践和探索也为世间的人们创设了无数的就业岗位。
三、数学是抽象的艺术
数学与绘画艺术的发展几乎是同步的，人们将对数学的认识迁移到绘画艺术和一领域之中，因此而产生了许多传世佳作。
最初的阶段，绘画以模仿为主。所谓模仿，就是仿照某种现成的样子去做。亚里士多德认为模仿是艺术的起源之一，也是人和其他动物的区别之一。模仿是对人的普遍经验的仿制，所不同的是这些仿制的技法和对象在不断更新。举例来说，绘画的问题是如何把空间中的物体表现在平面上，古埃及最早的壁画之一《水边的狩猎》就是利用截面在平面上的投影，看主要人物的头和肩的位置描绘出来的，这是最初的方法。
迪克尔坐标给我们展现了三维立体的世界，而在物理学领域，则将时间和空间融为一体，提出了四维空间的概念。庞加莱是这样引导我们想象四维世界的：“外在物体的形象被描绘在视网膜上，视网膜上的是一幅二维图，而物体的形象是一幅透视图……”按照他的解释，既然二维面上的形象是从三维面来的投影，那么三维面上的形象可以看作从四维面来的投影。庞加莱建议，可以将第四维描述成画布上接连出现的不同透视图。依照西班牙画家毕加索的视觉天赋，他认为不同的透视图应该在时间的同时性里展示出来，于是就有了《阿维尼翁的少女》（1907）——这一立体主义的开山之作。
“抽象” 这个词作为名词在西文里的意思是摘要，它常常被置于一篇数学论文的开头，在标题、作者姓名和单位下面。在艺术领域，它可以被理解成从自然里提取出来的什么东西。正如集合论这类抽象数学的出现曾经引起一番争议，长期以来抽象这个词用在艺术上多少有些贬义，也让人争论不休。直到19世纪中叶，艺术家才开始倾向于一种新的艺术观念，即绘画是独立存在的一个实体，而并非对别的什么东西的模仿。后来渐渐产生了这样一种艺术：主题变成了附属的或弯曲变形了的东西，以便强调造型或表现手段，那是一种不以表现自然为目的的艺术。塞尚可谓是这种艺术的先驱，他发现眼睛是连续而同时地观看一个景色，他对于自然、人以及绘画的观念，全都展现在对他的故乡普鲁旺斯地区的山川、静物和肖像的绘制中。对塞尚来说，抽象主要是一种方法，目的在于重建独立绘画的自然景致。
康定斯基虽然没有留下非常著名的画作，但在抽象艺术绘画领域方面却有着非常深刻的理论建树。他经过一番探索，找到并确立了自己的艺术目标：通过线条和色彩、空间和运动，无须参照可见的自然物体，来表现一种精神上的反应或决断。随着年龄的增长，康定斯基的作品开始向抽象几何的风格演变，以圆和三角形为主要形式，他甚至分析了图画的抽象因素的想象效果，认为横线表冷、竖线表热。现在我们已经知道，抽象艺术（就像非欧几何学）有着更广阔的表现空间。
数学与艺术的发展相辅相成，与物理学、生物学、计算机科学……的发展也是如此。限于篇幅，这里就不再逐一展开了。
《数学简史》 蔡天新/著 中信出版社 2017.10