揭开“无限”的神秘面纱（下）

狼已经赶走了吗？

1901年，许多数学家已经承认了康托的集合论，并成功地把集合论应用到了许多别的数学领域中去。大家认为，集合论的确是数学的基础，而且由于集合论的建立，数学已经达到“绝对的严格”了。数学王国里春光明媚，阳光和煦，一派太平景象。

图1 罗素

正当大家兴高彩烈，欣赏着数学的“绝对严格性”的时侯，数学王国的大地上突然爆发了空前强烈的地震——英国数学家罗素提出了著名的罗素悖论：

究竟有没有包含万有的类（集合）？即有没有无所不包的无限集合？如果说有某个集合最大。那么，包含它自身在内的“一切集合的集合”不是比它还要大吗？

这个难以解决的矛盾就是集合论中的“悖论”。

那么Z是包含自身为元素的集合（称为“非正常集”）呢，还是不包含自身为元素的集合（称为“正常集”)？

可能有人看不懂罗素悖论。没关系，罗素本人就用通俗的“理发师悖论”作了比喻：理发师自称，他给所有自己不刮胡子的人刮胡子，但不给任何自己刮胡子的人刮胡子。试问理发师该不该给他自己刮胡子？如果他从来不给自己刮胡子，就属于“自己不刮胡子的人”。根据他的自称，他就应该给自己刮胡子；但是，一旦他给自己刮胡子，他就成了“自己刮胡子的人”了。还是根据他的自称，他就不应该给自己刮胡子。所以不管理发师的胡子由谁来刮，都会产生矛盾。

数学王国的居民们惶惶不安，他们担心数学王国的大地——集合论——会裂开。因为数学家们一贯追求严密性，一旦发现他们自称绝对严密的数学的基础——集合论并不严密，竟然出现了“悖论”这种自相矛盾的结果，可以想象，他们是多么震惊，多么心慌意乱。就像一位建筑师正在欣赏自己设计建造的漂亮大楼时，大楼的地基却裂开了。一时间，悖论四起，数学王国一片混乱。有的数学家宣布他以前的全部数学著作是“废话”；有的数学家把自己的著作推迟8年出版。

数学史上第三次危机来临了。

震惊之余，数学家们意识到，应当建立某种公理系统来对集合论作出必要的规定，以排除“罗素悖论”和其他有关的“悖论”。于是人人忙了起来，不久便出现了好几种公理系统。现在看来，其中最方便、应用最多的是意大利数学家策梅洛于1908年提出，后来由以色列数学家弗兰克尔加以补充的ZF公理系统。

图2 策梅洛

它排除了“罗素悖论”和别的有关悖论，使集合论站稳了脚跟。集合论在大家的关怀下已经成熟了，任何数学家都把它看作是全部数学的基础。数学王国的大地慢慢平静下来。

但是，数学家们并不能高枕无忧。他们明白，虽然ZF 系统排除了目前已知的悖论，可是它还不能保证将来不会出现新的悖论。说不定，这个系统本身就包含有新的“悖论”。

难怪法国数学家庞加莱说：“为了防备狼，羊群已用篱笆圈了起来，但却不知道圈内有没有狼。”

他说的狼就是悖论，羊群就是集合论，篱笆就是ZF公理系统。

何况，集合论的公理系统中还有选择公理的问题呢。

两种数学并存

选择公理的问题，多半还是“无限”在作怪。集合论的公理系统中有条叫做“选择公理”的，意思是说，对任意一些集合（有限个或无限个），可以从每个集合中选出一个元素来作成一个新的集合。

打个通俗的比喻，就是在任意多盒饼子中，总可以从每一盒中拿出一块饼子来另外装成一盒。如果只有有限盒，就连不满三尺的孩童都知道怎样拿，有多少盒拿多少次就行了。可是，如果有无限多盒，那要哪年哪月才拿得完？

而且，选择公理并没有指出在每个集合中选出哪个元素来，因此最后得到的新集合的元素是不明确的。所以有人反对使用选择公理，最著名的就是布劳维学派，他们至今还不承认选择公理。希尔伯特提出的著名的23个数学问题，第1个问题实际上就是关于选择公理的。

1923年又出现了怪事。波兰数学家巴拿赫用选择公理证明出“分球怪论”：可以把一只钢球分成两个与原来大小完全一样的钢球。

图 3 分球怪论

你说怪不怪！

于是数学家们更加怀疑选择公理作为集合论公理的正确性，纷纷设法证明选择公理是错误的。“无限”总是在给人们添麻烦。

忙了一阵以后，1940年奥地利数学家哥德尔却证明了完全出乎意料的结果：选择公理与ZF系统并不矛盾！

1962年，哥德尔引起的激动尚未平息，美国数学家柯亨又证明了另一个惊人结论：选择公理与 ZF系统是相互独立的。

这两个惊人结果使数学家们想到了平面几何中的平行公设。平行公设既不与其它几何公理矛盾，又与它们相互独立，承认它就得到欧氏几何，不承认它就得到非欧几何。选择公理在集合论中的地位不正好与平行公设在几何中的地位一样吗？因此，我们既可以承认选择公理，得到 “选择集论”；也可以不承认选择公理，得到“非选择集论”。由于集合论是全部数导的基础，现在既然有了两种集合论，在某种意义下当然就有了两种数学——“选择数学”和“非选择数学”。

我们平常学的、用的是哪种数学呢？哪种数学“有用”些呢？原来，我们平常学的、用的都是“选择数学”。当初；数学家们看到“选择数学”中出现了“分球怪论”这样“荒谬”的结果，就自然想到“非选择数学”是不是要好些？结果十分令人失望。“非选择数学”中与常识不符的“谬论”更多，而且平均每年就会发现一个新的“谬论”。因此，如果要大家放弃“选择数学”而去学习、运用“非选择数学”，肯定会造成天下大乱。所以，迄今为止，只有少数数学家在与“非选择数学”打交道，还没有找到它的实际用处。看来，还是“选择数学”要“有用”一些。

面对两种数学并存的现实，数学家们还在思考，还在探索。多数人认为可能是现行的集合论公理系统还不完善，还有一条重要公理尚未被发现。数学家们都满怀信心地认为：彻底解决集合论存在的问题，这个日子已为期不远了；彻底征服迷惑、戏弄人类几千年的“妖怪”——无限——的日子也为期不远了。