【数学思想系列】数形结合思想巧解题
数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面．
其中“以形助数”是指借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的．
“以数辅形”是指借助于数的精确性和严密性来阐明形的某些属性，即以数为手段，形作为目的．
【典型例题】
例3．（15南通）关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根都在－1和0 之间（不包括－1和0），则a的取值范围是 ．
【解析】
【方法一】利用函数图象“数学结合”解题
解：∵关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝9＋4a＞0，∴a＞－9\4，
设二次函数y＝ax2－3x－1，
∵方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根都在－1和0之间，∴x1x2＝－1\a＞0，
∴a＜0，∴二次函数y＝ax2－3x－1的图象如图所示，
∴当x＝－1时，y＝a＋3－1＜0，即a＜－2，
∴a的取值范围是－9\4＜a＜－2．
故答案为：－9\4＜a＜－2．
【方法二】用方程的有关的知识解题
解：∵关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝9＋4a＞0，∴a＞－9\4，
设二次函数y＝ax2－3x－1，
∵方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根都在－1和0之间，∴x1x2＝－1\a＞0，
【总结】根据一元二次方程与二次函数之间的关系，使用图象法可以快速解决问题．
【举一反三】
例4．（14济宁）“如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）．
A．m＜a＜b＜n
B．a＜m＜n＜b
C．a＜m＜b＜n
D．m＜a＜n＜b
【解析】
【方法一】
解：方程可以化简为x2－(a＋b)x＋ab－1＝0，
【方法二】数形结合思想
解：依题意，得，画出函数y＝(x－a)(x－b)的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．
方程1－(x－a)(x－b)＝0转化为(x－a)(x－b)＝1，
方程的两根是抛物线y＝(x－a)(x－b)与直线y＝1的两个交点．
由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．
由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；
在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．
综上所述，可知m＜a＜b＜n．
故答案为：m＜a＜b＜n．
【方法三】数形结合思想
解：如图，画出二次函数y＝(x－a)(x－b)的图象，
∴该二次函数x轴的两个交点坐标分别为（a，0）和（b，0）其中a＜b，
将二次函数y＝(x－a)(x－b)的图象向下平移1个单位，得到新二次函数的解析式为y1＝(x－a)(x－b)－1，
∴这时新二次函数与x轴的交点为（m，0）和（n，0）其中m＜n，
易得：m＜a＜b＜n．
故答案为：m＜a＜b＜n．
【方法四】特殊值法
解：依题意得令a＝0，b＝1，则原方程可化为1－x(x－1)＝0，即x2－x－1＝0，
【总结】方程问题通常可以转化为函数问题，利用函数图象快速判断答案．